شرح المتتابعات

المتتابعات

تعدّ المتتابعات عبارة عن مجموعة من الأعداد التي تتبع نمطاً معيناً من الترتيب، ويطلق على كلّ عدد في المجموعة (الحد)، ويرمز للحد الأول بالرمز (a1)، والحد الثاني (a2)، والحد الثالث (a3) وهكذا، وقد تكون المتتابعات منتهية لها عدد محدد من الحدود، أو لها حد أخير، أو متتابعات غير منتهية والتي يكون عدد حدودها غير محدود، وتلعب المتتابعات دوراً كبيراً في البناء الرياضي والتطبيقات الرياضيّة، فعلى سبيل المثال تدخل في جدولة الديون المتبقية والأقساط وغيرها من العمليات البنكيّة.

المتتابعة الحسابيّة

هي المتتابعة التي يتم الحصول على كلّ حد فيها من خلال إضافة قيمة ثابتة (عدد ثابت)، إلى الحد الذي يسبقه، حيث تكون هذه القيمة الثابتة، أساس المتتابعة الحسابيّة، أو الفرق المشترك بين الحدود.

تحديد المتتابعة الحسابيّة

يتم معرفة إذا كانت المتتابعة حسابية أم لا من خلال حساب الفرق بين الحدود، (a2-a1)، (a3-a2)، (a4-a3)، وهكذا فإذا كان:

• (a2-a1)=(a3-a2)=(a4-a3)، فإنّ المتتابعة حسابيّة.
• (a2-a1)≠(a3-a2)≠(a4-a3)، فإنّ المتتابعة غير حسابيّة.

• مثال: هل المتتابعة {حن}= {15،11،7،3،.....} حسابيّة أم لا؟
• الحل: المتتابعة حسابيّة لأن القيمة الثابتة لجميع قيم المتتابعة متساوية، وهي (4).
• مثال: أوجد الحد الثالث عشر للمتتابعة الحسابيّة {1، -3، -7، -11،....}.
• الحل: أساس المتتابعة= (-3-1= -4) للحد الأول، إذن (ح13)= 1+ (13-1)×-4= 1+ (-48)= -47.
• مثال: إذا كان مجموع ثلاثة حدود متتالية في متتابعة حسابيّة يساوي 6، وحاصل ضربها يساوي -42، فما هي هذه الحدود؟
• الحل: {-3، 2، 7}.

المتتابعة الهندسيّة

هي المتتابعة التي تكون قيمة النسبة ثابتة بين أي حد والحد الذي يسبقه، ويطلق على هذه النسبة أساس المتابعة الهندسيّة، كما يطلق عليها النسبة المشتركة، وفي حال كان أساس المتتابعة الهندسية موجباً؛ تكون المتتابعة متحدة الإشارة، أما في حال كان سالباً؛ فتتغير حدود المتتابعة بتغير إشارتها من موجب إلى سالب على التوالي، أو من سالب إلى موجب على التوالي.

تحديد المتتابعة الهندسيّة

يتم معرفة إذا كانت المتتابعة هندسيّة أم لا من خلال حساب نسبة (a2/a1)، ونسبة (a3/a2)، ونسبة (a4/a3)، وهكذا فإذا كان:

• (a2/a1)=(a3/a2)=(a4/a3)، فإنّ المتتابعة هندسيّة.
• (a2/a1)≠(a3/a2)≠(a4/a3)، فإنّ المتتابعة غير هندسيّة.

• مثال: هل المتتابعة التالية هندسيّة أم لا {3، 6، 12،.....}؟
• الحل: المتتابعة هندسيّة لأنّ قيمة النسبة الثابتة (6/3)= (12/6) تساوي (2) لجميع القيم.
• مثال: أوجد الحد العاشر في المتتابعة {2/1 ،-2،1،....}.
• الحل: المتتابعة هندسيّة، والحد الأول= 2/1 ، والنسبة الثابتة= (-1÷ 2/1= -2)، إذن (ح10)= 2/1× -92= 2/1× (-512)= 256.