خصائص النهايات

2023-08-06 01:31:13 (اخر تعديل 2024-09-09 11:28:33 )

تعريف النهايات

النهايات أو النهاية هي من المفاهيم الأساسية في علم التفاضل والتكامل، الذي نشأ لوصف الكيفية التي تتغير فيها الأشياء.[1] وتستخدم النهاية لمعرفة سلوك الاقتران عندما تقترب قيم المتغير المستقل س من عدد معين، ويعبّر عنها رياضيا بالصيغة التالية:[1]

نها ق(س) س←أ

تُقرأ نهاية الاقتران ق(س) عندما تقترب قيم س من أ، حيث أ ∈ح، وح هي مجموعة الأعداد الحقيقية. وحتّى تكون هذه النهاية موجودة، فيجب أن يكون الإقتران ق(س) مُعرّفاً على فترة مفتوحة قصيرة الطول، على الصورة (أ-جـ، أ+جـ)، وتحوي العدد أ، وحيثُ جـ عدد حقيقي صغير جداً. علماً أنّه ليس من الضرورة أن يكون ق(س) مُعرّفاً عند العدد أ نفسه. وحتّى يتحقق هذا الشرط، فإنّ قيمة النهاية عند الإقتراب من أ من جهة اليسار عليها أن تساوي قيمتها عند الإقتراب من جهة اليمين:[1]

نها ق(س) س←أ = نها ق(س) س←أ+ = نها ق(س) س←أ-

إنّ إشارة (+) على يسار أ تعني نهاية الاقتران ق(س) عندما تقترب قيم س من العدد أ من جهة اليمين،[1] أمّا إشارة (-) على يسار العدد أ فتعني نهاية الاقتران ق(س) عندما تقترب قيم س من العدد أ من جهة اليسار.[1]

خصائص النهايات

يمكن تخمين قيمة نهاية اقتران ما، عندما تقترب قيم المتغير المستقل س من عدد حقيقي معين، باستخدام الآلة الحاسبة أو من الرسم البياني. لكن، للحصول على نتائج دقيقة وصحيحة فإنّ قيمة النهاية توجد جبريّا. وتستخدم خصائص النهايات لتسهيل هذه العملية.[2] نذكرُ فيما يلي أهم نظريّات النهايات التي تستعرضُ خصائصها:[1]

نظرية (1)

إذا كان أ، ب عددين حقيقين، وكان ق(س) = ب لكل س ∈ح،فإنّ:نها ق(س)س←أ= ب

نها ق(س)س←أ= ب

نظرية (2)

إذا كانت أ ∈ح، حيث ح هي مجموعة الأعدادالحقيقية، ن عدد صحيح موجب، وكان ق(س) = سن، فإنّ:نها ق(س) س←أ = أن

نها ق(س) س←أ = أن

نظرية (3)

إذا كان ق، هـ اقترانين، حيث أ، ب، جـ، م أعداد حقيقية، وكاننها ق(س) س←أ = ب، نها هـ(س) س←أ = جـ، فإنّ:

1- نها ( ق(س) س←أ + هـ(س)س←أ ) = نها ق(س)س←أ + نها هـ (س)س←أ = ب + جـ.

2- نها ( ق(س)س←أ - هـ(س)س←أ ) = نها ق(س)س←أ - نها هـ (س)س←أ = ب - جـ.

3- نها ( ق(س)س←أ × هـ(س)س←أ ) = نها ق(س)س←أ × نها هـ (س)س←أ = ب × جـ.

4- نها ( ق(س)س←أ ÷ هـ(س)س←أ ) = نها ق(س)س←أ ÷ نها هـ (س)س←أ = ب ÷ جـ، حيث جـ ≠ 0.

5- نها( م x ق(س)س←أ ) = م x نها ق(س)س←أ = م × ب.

نها ق(س) س←أ = ب، نها هـ(س) س←أ = جـ، فإنّ:

كيفية تطبيق نظريّات النهايات

حتى نستطيع أن نفهم النظريات المكتوبة أعلاه بشكل أفضل، يجب حل الكثير من المسائل، ولتسهيل عملية تطبيق هذه النظريات، تمّت ترجمتها إلى كلمات في الجدول التالي:[3]

النظرية

الشرح بالكلمات

نهاية الإقتران الثابت هي قيمة الثابت نفسه، بغض النظر عن القيمة التي تقترب منها السينات.

إذا كان الإقتران على شكل ق(س) = سن، حيث ن عدد صحيح موجب، فإنّ قيمة النهاية عندما تقترب السينات من عدد حقيقي ما، ليكن أ، هي التعويض المباشر لـ أ في الإقتران.

النهاية لاقترانين مجموعين يساوي مجموع نهاية كل اقتران على حدا. وكذلك الأمر إذا كان الاقترانين مطروحين: فيساوي نتيجة طرح نهاية الإقترانين من بعضهما البعض، أو مضروبين: فيساوي حاصل ضرب نهاية الإقتران الأول في نهاية الإقتران الثاني، أو مقسومين: فيساوي نتيجة قسمة نهاية الإقتران الأول على نهاية الإقتران الثاني، بشرط ألا تكون قيمة نهاية الإقتران الثاني (المقام) صفرا.

بالإضافة لما سبق، يمكن أيضاً اعتماد الفائدة التالية:[3]

حقيقة

إذا كان ق(س) اقتران كثير حدود، فإنّ:نها ق(س) س←أ = ق(أ).

نها ق(س) س←أ = ق(أ).

الأمثلة التالية تُوضّح كيف تُوجَدُ النهاية باستخدام النظريات:

مثال (1): نها( 14 - 6س + س3) س←-2[4]

باستخدام نظرية (3)، فإنّ النهاية توزّع على الاقترانات المجموعة والمطروحة، فيصبح لدينا ثلاث نهايات، سنجد قيمة كل واحدة على حدا:

1- نها 14 س←-2، وباستخدام نظرية (1)، فإنّ قيمة هذه النهاية = 14.

2- نها 6 س س←-2، وباستخدام نظرية (2) و نظرية (3 - 5) ، فإنّ قيمة هذه النهاية = 6 × -2 = -12.

3- نها س3س←-2، وباستخدام نظرية (2)، فإنّ قيمة هذه النهاية = (-2)3 = -8.

فالجواب النهائي إذا: 14 - (-12) + -8 = 18.

مثال (2): نها ( -16 + 7س + 3س2) س←6[5]

1- نها -16 س←6، وباستخدام نظرية (1)، فإنّ قيمة هذه النهاية = -16.

2- نها 7 س س←6، وباستخدام نظرية (2) و نظرية (3 - 5) ، فإنّ قيمة هذه النهاية = 7 × 6 = 42.

3- نها 3س2س←6، وباستخدام نظرية (2)، فإنّ قيمة هذه النهاية = 3 × (6)2 = 108.

فالجواب النهائي إذا: -16 + 42 + 108 = 134.

المراجع

^ أ ب ت ث ج ح د.لانا كمال عرفة، إبراهيم أحمد عمايرة، د.يوسف محمد صبح، وآخرون (2017)، الرياضيات للصف الثاني عشر، الفرعين العلميّ والصناعيّ (الطبعة الأولى)، الأردن: وزارة التربية والتعليم، صفحة 10,12,13,14,19. بتصرّف.
↑ JAMES STEWART (2008), CALCULUS EARLY TRANSCENDENTALS, UNITED STATES : THOMSON LEARNING, Page 99. Edited.
^ أ ب "Section 2-4 : Limit Properties", lamar, Retrieved 2018-12-6. Edited.
↑ "Section 2-4 : Limit Properties- Practice Problems Solutions", lamar, Retrieved 2018-12-6. Edited.
↑ "Section 2-4 : Limit Properties-Practice Problems Solutions", lamar, Retrieved 2018-12-6. Edited.