ما هو العدد الصحيح

تعريف العدد الصحيح

هو العدد الكامل الذي لا يحتوي على أجزاء كسريّة، أو - بعبارة أخرى - ليس فيه خانات على يمين الفاصلة العشريّة.[1] وقد يكون العدد الصحيح موجباً، أو سالباً، أو صفراً، أي ضمن المجموعة التالية: {...، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، ...}، وتُعتبر الأعداد الصحيحة مجموعة جزئيّة تقع تحت مظلة مجموعة الأعداد الحقيقية الكبيرة، والتي تشمل الأعداد: الطبيعيّة، والكاملة، والصحيحة، والكسريّة، والنسبيّة، وغير النسبية.[2]

خطّ الأعداد

هو إحدى طرق تمثيل الأعداد عبر ترتيبهم على خط أفقي طويل يمتدّ إلى مالا نهاية من الطرفين؛ اليمين واليسار،[3] حيثُ تتوزع عليه الأعداد حسب النظام و الخصائص التالية:[4]

• يحتلّ الصفر وسط هذا الخط، حيث تقع الأعداد الأكبر منه على يمينه، والأصغر منه على يساره.
• تُسمّى الأعداد الصحيحة الأكبر من الصفر، والتي تقع على يمينه، بالأعداد الصحيحة الموجبة، وتحمل الرمز (+).
• تُسمّى الأعداد الصحيحة الأصغر من الصفر، والتي تقع على يساره، بالأعداد الصحيحة السالبة، وتحمل الرمز (-).
• يُعتبر الصفر عدداً صحيحاً متعادلاً، فهو ليس موجباً ولا سالباً.
• إشارة العدد الصحيح موجبة أو سالبة، إلّا الصفر، فلا إشارة له.
• إنّ عددين صحيحين يُعتبرا معكوسين لبعضهما البعض، إذا كانت المسافة التي تفصل كلاً منهما عن الصفر متساوية، بحيث يقعان على الجهتين المتقابلين على خط الأعداد واحد على يسار الصفر، والآخر على يمينه. ومن الأمثلة على عددين معكوسين: (+2، -2)، (+5، -5).

مثال:

الحل:

خصائص الأعداد الصحيحة

تُعتبرُ هذه الخصائص الوحدات أو القواعد الأساسيّة في نظام الرياضيّات، والتي من المهمّ فهمُ كيفَ تُطبّق أثناء حل المسائل الرياضيّة المتنوّعة. وفيما يلي أهمّ هذه الخصائص:[5]

الخاصيّة التبديلية لعملية الجمع

تسمح هذه الخاصيّة بجمع الأرقام، مهما كان ترتيبها، دون أن تتأثر النتيجة، فمثلا: (2 + 4 = 4 + 2).

الخاصيّة التبديليّة لعمليّة الضرب

تسمح هذه الخاصيّة بضرب الأرقام، مهما كان ترتيبها، دون أن تتأثر النتيجة، فمثلا: (2 × 4 = 4 × 2).

الخاصيّة التجميعيّة لعمليّة الجمع

تسمح هذه الخاصيّة بتجميع الأعداد، بأيّ طريقة، قبل تنفيذ عملية الجمع، دون أنْ تتأثّر النتيجة، فمثلا: (2 + 4) + 3 = 2 + (3 + 4). بعبارة أخرى: يمكنُ جمع (2) مع (4) أولاً، ثمّ جمع النتيجة مع (3)، أو يمكن جمع (3) مع (4) أولاً، ثمّ جمع النتيجة مع (2)، ففي كلتا الطريقتين النتيجة واحدة.

الخاصيّة التجميعيّة لعمليّة الضرب

تسمح هذه الخاصيّة بتجميع الأعداد، بأيّ طريقة، قبل تنفيذ عملية الضرب، دون أن تتأثر النتيجة، فمثلا: (2 × 4) × 3 = 2 × (3 × 4)، وبعبارة أخرى: يمكنُ ضرب (2) و (4) أولاً، ثمّ ضرب النتيجة بـ (3)، أو يمكن ضرب (3) و (4) أولاً، ثمّ ضرب النتيجة ب (2)، ففي كلتا الطريقتين النتيجة واحدة.

خاصيّة توزيع الضرب على الجمع

هذه الخاصيّة مفيدة جداً عندما يتضمّن التعبير الرياضيّ عددين مجموعين، و ثالث مضروب بهما معاً، إذ من الممكن جمع العددين أولاً، ثمّ ضرب النتيجة بالعدد الثالث، أو نضرب العدد الثالث بكل عدد منهما على حدا، ثمّ نجمع النتيجة. وللتمثيل على ذلك: 2 × (4 + 3) = (2 × 4) + (2 × 3)، أمّا عمليتيّ الطرح والقسمة فهما ليستا تبديليتين أو تجميعتين، إذ إنّ ترتيب الأعداد مهمّ جداً ويُؤثّر على النتيجة النهائيّة، فمثلاً: (9 - 4 ≠ 4 - 9)، و(2 ÷ 4 ≠ 4 ÷ 2).

تطبيقات عملية على الأعداد الصحيحة السالبة

من السهل تمييز الدور الذي تلعبه الأعداد الصحيحة الموجبة في الواقع، فهي القيم التي توجد على لافتات السير في الشوارع لتحدّد السرعة القصوى التي لا ينبغي تجاوزها، وهي المستخدمة أيضاً في ترقيم المباني في الأحياء السكنية. ولكن، ماذا عن الأرقام السالبة؟ أين يمكنُ ملاحظتها، وعن ماذا تُعبّر أصلاً؟[6]

إنّ الرمز (-) الذي يُصاحب الأعداد السالبة، قد يُعبّر عن معانٍ مختلفة حسب التطبيق المستخدم فيه، لكن مهما اختلفت المعاني فهي تجتمع على أنّها تُعبّر عن: النقص أو الانخفاض أو التدنّي، أو تعني أنّ شيئاً ما يتحرّك لليسار أو للأسفل. والأمثلة العملية التالية توضّح تجلّي هذه المعاني بالتفصيل:[6]

• عند وصف تسارع سيّارة تبطّئ من سرعتها لتقف على إشارة مرور، فإنه يوصف باستخدام عدد سالب.
• لقياس درجة الحرارة في طقس بارد باستعمال ميزان الحرارة، فإنّ النتيجة التي يعطيها قد تكون عدداً سالباً. إنّ ميزان الحرارة يشبه خطّ الأعداد في توزيعه، إلّا أنّ اتجاهه عموديّ، من الأعلى للأسفل.
• للتعبير عن نقصان درجة الحرارة، فمثلا: لو قيل أنّ درجة الحرارة في منطقة ما (+25)، ثمّ أخبر مصدر موثوق أنّها قلّت ثلاث درجات، فإنّ هذا يعني أنّ درجة الحرارة أصبحت (+22)، أو بتعبير رياضيّ أدقّ: (+25 - 3 = +22).
• للتفريق بين ارتفاعات المناطق المختلفة على سطح الأرض، يستخدم مستوى البحر كمرجع متعادل ( بدلاً من الصفر في خط الأعداد)، فالمناطق الأعلى منه موجبة، والأقل منه سالبة. وعلى ذلك، فعندما نعلم أنّ جبل ايفرست ارتفاعه ممثّل رياضياً بـ (+8848)، فإنّ هذا يعني أنه يقع فوق مستوى البحر بـ (8848) متراً. أمّا البحر الميّت، والذي يمثّل أخفض بقعة في العالم، فإنّ ارتفاعه ممثّل بـ (-409)، أي تحت سطح البحر بـ (409) متراً.

التدريب التالي يساعد على تعميق مفهوم الأعداد الصحيحة السالبة وربطها بالحياة العملية:[4]

المراجع

1. ^ أ ب "Integer", mathopenref, Retrieved 2018-11-19. Edited.
2. ↑ "Real Number System", ipracticemath, Retrieved 2018-11-19. Edited.
3. ↑ "Number line", mathopenref, Retrieved 2018-11-19. Edited.
4. ^ أ ب "Integers", mathgoodies, Retrieved 2018-11-19. Edited.
5. ↑ "Properties of integers", math, Retrieved 2018-11-20. Edited.
6. ^ أ ب Natasha Glydon, "Applications of Integers"، mathcentral, Retrieved 2018-11-19. Edited.