قوانين المثلثات

المثلث

المثلّث هو أحد الأشكال الأساسيّة في الهندسة، وهو شكل ثنائي الأبعاد، مكوّن من ثلاثة رؤوس تصل بينها ثلاثة أضلاع، على شكل قطع مستقيمة، ومجموع طولي أيّ ضلعين في مثلّث أكبر من طول الضلع الثالث، ومجموع زوايا المثلّث تساوي 180 درجة، ويتميّز بوجود زاويتين حادّتين، وهناك العديد من أنواع المثلّثات، مثل: المثلّث متساوي الساقين، والمثلّث قائم الزاوية، والمثلّث متساوي الأضلاع، والمثلّث مختلف الأضلاع، وهناك كثير من القوانين الخاصّة بالمثلّثات، وسنعرفّكم على أهم هذه القوانين في هذا المقال.

قوانين المثلثات

قانون مساحة المثلث

وهو عبارة عن نصف طول القاعدة مضروباً بطول الارتفاع، ويُمثّل رياضياً بالشكل الآتي: مساحة المثلث = 1/2 × طول القاعدة × الارتفاع.

قانون محيط المثلث

هو عبارة عن حاصل مجموع أطوال أضلاع المثلّث الثلاثة، ويعبّر عنه رياضياً من خلال: محيط المثلث = طول الضلع الأول + طول الضلع الثاني + طول الضلع الثالث.

ظل الزاوية في المثلث القائم (ظا)

ويساوي طول الضلع المقابل للزاوية مقسوماً على طول الضلع المجاور لها.

ظتا الزاوية في المثلث قائم الزاوية

ويساوي طول الضلع المجاور للزاوية، مقسوماً على طول الضلع المقابل لها.

جيب الزاوية في المثلث القائم (جا)

ويساوي طول الضلع المقابل، مقسوماً على طول الوتر.

جيب تمام الزاوية في المثلث القائم (جتا)

ويساوي طول الضلع المجاور، مقسوماً على طول الوتر.

نظرية فيثاغورس

هي عبارة عن القانون الذي يمكن من خلاله حساب طول الوتر المقابل للزاوية القائمة في المثلّث قائم الزاوية، ويكون مربّع طول الوتر مساوياً لمربع طول الضلع الأوّل مضافاً إلى مربّع طول الضلع الثاني، ويعبّر عنه رياضياً بالشكل الآتي: مربّع طول الوتر = مربّع طول الضلع الأول + مربّع طول الضلع الثاني.

أمثلة على بعض القوانين

• المثال الأول: مثلّث أطوال أضلاعه 7سم، و3سم، و5سم، أوجد طول محيطه؟

الجواب:محيط المثلّث = طول الضلع الأوّل + طول الضلع الثاني + طول الضلع الثالثمحيط المثلث = 7 + 3 + 5 = 15سم.

• المثال الثاني: احسب طول محيط المثلّث قائم الزاوية، والذي تبلغ أطوال أضلاعه 4 سم و3 سم؟

الجواب:في البداية لا بدّ من حساب طول الوتر من خلال نظرية فيثاغورس:مربّع طول الوتر = مربّع طول الضلع الأوّل + مربّع طول الضلع الثاني مربع طول الوتر = 9 + 16الوتر = 5 سممحيط المثلّث = 5 + 4 + 3محيط المثلّث = 12سم

• المثال الثالث: احسب مساحة مثلّث قائم الزاوية، طول قاعدته 6 سم، وارتفاعه 9 سم؟

الجواب:مساحة المثلّث = 1/2 × طول القاعدة × طول الارتفاعمساحة المثلث = 1/2 × 6 × 9 = 27 سم2