إثبات قضیة فیثاغورس

فيثاغورس

عاش المفكّر الرحّالة وعالم الرياضيات والفلك فيثاغورس اليوناني في القرن السادس ما قبل الميلاد، وما خلّد ذكره بالفعل نظريته الشهيرة والتي تعتبر من أهم أعماله: (نظريّة فيثاغورس)؛ لما لها من فضل على المهندسين والمعماريين وحتى الحرفيين في تسهيل أعمالهم لدى التعامل مع طول ضلع مجهول في مثلث قائم الزاوية.

نصّ النظرية

تنص نظرية فيثاغورس على أنّ: (مساحة المربع الناشئ على الضلع المقابل للزاوية القائمة تساوي مجموع مساحتي المربعين الناشئين على الضلعين الآخرين، وذلك ينطبق فقط على المثلث القائم الزاوية)، بمعنى أنّه في حال التعامل مع المثلث قائم الزاوية فإن مساحة المربع المرسوم جهة الوتر، (هنا الوتر يكوّن ضلعاً من أضلاع المربّع)، تساوي مساحة مجموع المربعين الناشئين من الضلعين المتبقيين.

رياضياً يُكتب هكذا: (A^2+B^2)= (C^2) حيثُ إنّ (A) و(B) يمثّلان الضّلعين اللّذين يشكّلان معاً الزاوية القائمة و (C) هو الوتر أو المستقيم الموازي للزاوية القائمة.

إثبات النظرية بالرسم

لإثبات النظرية بالرسم، اتبع الخطوات التالية:

• أحضر ورقاً بيانياً وارسم عليه مثلثاً قائم الزاوية بأكبر دقة ممكنة، ارسم مربعاً عند الوتر بحيث يكون الوتر ضلعاً من أضلاعه، ثم احسب مساحته (تذكر أننا طلبنا منك استخادم ورقاً بيانياً لتسهيل العملية).
• ارسم مربعاً للضلع المحاذي للزاوية عن اليمين، ومربّعاَ آخر للضلع المحاذي للزاوية عن اليسار، وبالطريقة نفسها احسب مساحة كل مربع على حدة، واجمع مساحتيهما.
• ستجد أن مجموع مساحتيهما مساوٍ تماماً لمساحة المربع المرسوم عند الوتر، وهذا يثبت صحة النظرية عملياَ.

إثبات النظرية بالأرقام

لإثبات هذه النظرية بطريقة الأرقام، ستحتاج إلى قلم، ومسطرة، وورقة: ارسم خطاً مستقيماً بطول 4 سنتيمترات، وعند نهاية الخط ارسم خطاً مستقيماً بزاوية 90 درجة أي معامداً للخطّ الأول بطول 3 سنتيمترات، عندها، وحسب نظرية فيثاغورس فإنّ الخط المستقيم الذي يصنع المثلث سيساوي: 3^2 +4^2 =25 وبعد وضعه تحت الجذر التربيعي (تمّ استعمال الجذر التربيعي لإيجاد طول الضلع بدلاً من مساحة المربع)، يكون الجواب 5 سم وهذا ما ستلاحظه عند قياس الخط المرسوم بالمسطرة.

أحجية

كإثبات ظريف، حاول بنفسك حلّ هذا اللغز في غرفتك: كم يبلغ طول الخيط الذي سيصل بين زاوية غرفتك العلويّة مع زاوية غرفتك السفلية، حيث إنّ الزاويتين متقابلتان ومتعاكستان؟!

لاحظ أنّ المطلوب هو معرفة المسافة ما بين أبعد نقطتين في الغرفة، مع فرض أنّ جدران الغرفة تتكوّن من أشكال مربعة ومستطيلة. استعمل قانون فيثاغورس مرّتين، وستجد الحل!