قوانين اشتقاق الدوال

الدوال

تُعرّف الدالة المشتقة بأنّها ميل المماس لمنحنى ق (س) عند أي نقطة بشرط وجود هذه المشتقة، كما أنّنا لا نستطيع القول إنّ المشتقة موجودة إلا إذا كانت النهاية موجودة من اليمين واليسار عند نقطة معينة.

إنّ معدل تغير الاقتران أو المشتقة الأولى للاقتران ق (س) عند س=س1 وفي مجاله يُرمز له بالرمز ق(س1)، كما يُستخدم الرمز ق(س1) للتعبير عن المشتقة الثانية للاقتران ق (س)، وبصورة عامة فإنّ رمز المشتقة ن للاقتران ق (س) عند س=س1 هي قن (س) حيث إنّ ن=1، 2، 3، 4، 5.

استُخدم تعريف المشتقة لوقت طويل حتى يتم إيجادها، وبعد جهود ودراسات عديدة تم تسهيل الحصول على المشتقة من خلال تدوين مجموعة من القواعد سُميت بقواعد اشتقاق الدوال التي سنعرفكم على بعضها في هذا المقال.

قوانين اشتقاق الدوال

قاعدة العدد الثابت

إذا كان ق (س)=جـ، حيث جـ عدد ثابت، فإنّ ق (س)=0 فكلّ س تنمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقة.

مثال:

ق (4)=0 لأنّ 4 تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية

قاعدة الاقتران كثير الحدود

إذا كان ق (س)=سن، حيث إنّ ن تنتمي مجموعة الأعداد الطبيعية بدون العدد صفر، فإنّ ق (س)=ن س(ن-1).

مثال:

ق (-2)=6 (-2)5ق (-2)=-192

قاعدة الجمع والطرح

إذا كان ق (س)، هـ (س) اقتراناً قابلاً للاشتقاق عند س، وكانت جـ تنتمي مجموعة الأعداد الحقيقية فإنّ:

• ك (س)=جـ×ق (س) قابل للاشتقاق عند س، ويكون ك (س)=جـ×ق (س).
• ع (س)=ق (س)+هـ (س) قابل للاشتقاق عند س، ويكون ع (س)=ق (س)+هـ (س).
• ل (س)=ق (س)-هـ (س) قابل للاشتقاق عند س، ويكون ل (س)=ق (س)-هـ (س).

مثال 1:

مثال 2:

قاعدة الضرب

مشتقة حاصل ضرب اقترانين: إذا كان كلّ من ق (س)، هـ (س) اقترانين قابلين للاشتقاق عند س، وكان ع (س)=ق (س)×هـ (س) فإنّ: الاقتران ع (س) قابل للاشتقاق عند س، ويكون ع (س)=ق (س)×هـ (س)+ق (س)×هـ (س).

مثال:

قاعدة القسمة

مشتقة ناتج قسمة اقترانين: إذا كان كل من ق (س)، ع (س) قابلاً للاشتقاق عند س، ع (س) لا يساوي صفر، فإنّ: غ (س)=ق (س)/ع (س) قابل للاشتقاق عند س، ويكون غ (س)=[ق (س)×ع (س)]-[ع (س)×ق (س)]/(ع (س))2.

مثال :

قاعدة السلسلة

مشتقة الاقتران المركب: إذا كان الاقتران هـ (س) قابلاً للاشتقاق عند النقطة س، وكان ق (س) قابلاً للاشتقاق عند هـ (س)، فإنّ الاقتران المركب (قοهـ) (س) يكون قابلاً للاشتقاق عند س، ويكون (قοهـ) (س)=ق (هـ (س))×هـ (س).

مثال :

(قοهـ) (س)=ق (هـ (س))×هـ (س)(قοهـ) (س)=ق(س2+2س)(قοهـ) (س)=2 (س2+1)×2س (قοهـ) (س)=4 (س3+س)(قοهـ) (س)=4س3+4 س

قاعدة القوى الكسرية

مشتقة القوى الكسرية: إذا كانت ص=س م/ن، حيث إنّ (م/ن) عدد نسبي فإن دص/دس=(م/ن) س(م/ن) -1.

مثال :

ق(8)=(2/3)8(-1/3) ق(8)=(2/ 3)×(23) (-1/ 3)ق(8)=(2 /3)×2-1ق(8)=(2/ 3)×(1/ 2) ق(8)=1 /3

قواعد الاقترانات الدائرية

• النظرية 1: إذا كان ق (س)=جاس، فإنّ ق (س)=جتاس.
• النظرية 2: إذا كان ق (س)=جتاس، فإن ق (س)=-جاس.
• النظرية 3: إذا كان ص=ظاس، فإنّ دص / دس=قا2س.
• النظرية 4: إذا كان ص=ظتاس، فإنّ دص / دس=-قتا2س.
• النظرية 5: إذا كان ص=قاس، فإنّ دص / دس=قاس ظاس.
• النظرية 6: إذا كان ص=قتاس، فإنّ دص / دس=-قتاس ظتاس.

مثال 1:

مثال 2:

مثال 3:

-جا(س ص)×(س(دص/دس)+ص)=1 -س جا(س ص)×(دص/دس)=1+ص جا(س ص)دص/ دس=(1+ص جا(س ص))/(-س جا(س ص)) دص/دس=-(1+ص جا (س ص))/(س جا(س ص))