قانون المثلث قائم الزاوية

المثلّثات

المثلّثات (بالإنجليزيّة: Triangles) هي أشكال هندسيّة ثلاثيّة الأضلاع، حيث يتكوّن سطحها من تقاطع ثلاث قِطَع مستقيمة تُسمّى أضلاع المثلّث؛ وينتج عن هذا التقاطع ثلاثة رؤوس، لا تقع على استقامة واحدة، وتُسمّى (القطعة المستقيمة الواصلة بين رأس المثلّث ومنتصف الضّلع المقابل له) بالمستقيم المتوسّط أو القطعة المتوسّطة، أمّا ارتفاع المثلّث فهو العمود النازل من رأس المثلّث إلى القاعدة؛ حيث تتشكّل من هذا التعامد زاوية قائمة قياسها 90°.[1][2]

تعريف المثلّث قائم الزاوية

المثلّث قائم الزاوية هو نوع من أنواع المثلّثات، التي تحتوي على زاوية قائمة قياسها 90°،[3][4] وبمعنىً آخر إذا كان (مجموع مربّعَي طولي أيّ ضلعين في المثلّث يساوي مربّع طول الضلع الثالث) فإنّ المثلّث قائم الزاوية،[1] ويُطلَق على أطول أضلاع المثلّث قائم الزاوية مصطلح الوتر.[5]

قانون المثلث قائم الزاوية-نظريّة فيثاغورس

أُجرِيت عدّة دراسات قبل أكثر من 2000 عام حول المثلّثات، فنتجت عنها عنها اكتشافات كان لها تأثير مذهل، ومن هذه الاكتشافات نظريّة فيثاغورس، التي سُمِّيت بهذا الاسم نسبةً إلى عالم الرياضيات المشهور فيثاغورس؛ حيث كان له دور كبير في علم المثلّثات، فهو مؤسّس المدرسة الفيثاغوريّة في إيطاليا، وقدّم من خلالها نظريّاتٍ في الهندسة المستوية، كما قدّم نظريّته الشهيرة التي كانت لها أهميّة كبرى في كيفيّة إيجاد الضلع الثالث في المثلّث قائم الزاوية، وذلك عن طريق استخدام نظريّة فيثاغورس، وذلك بتربيع الضلع الذي يقابل الزاوية القائمة، ومساواته بمجموع مربّعَي الضّلعين الآخرين، ويُعبَّر عن نظريّة فيثاغورس بالقانون الآتي:[1][6]

وفيما يأتي بعض الأمثلة التي توضّح كيفيّة إيجاد طول الضلع الثالث بتطبيق نظريّة فيثاغورس:

• مثال (1): المثلّث أ ب ج قائم الزاوية في ب، فيه طول الضلع ب ج يساوي 12سم، وطول الضلع أ ب يساوي 5سم، جد طول الضّلع أج.[6]

• مثال (2): مثلّث قائم الزاوية، فيه طول الضلع الأول يساوي 9سم، وطول الوتر يساوي 15سم، جد طول الضلع المجهول.[6]

• مثال3: أ ب ج مثلّث قائم الزاوية عند ب، فيه طول أ ب يساوي 3م، وطول ب ج يساوي 4م، احسب طول الوتر.[1]

محيط المثلّث قائم الزاوية

يُسمّى مجموع أطوال جوانب المثلّث بالمحيط، وهو عبارة عن المسافة التي تُحيط بالمثلّث، ويُعبَّر عنه بجمع أطوال أطرافه (أضلاعه) الثلاثة.[3] وفيما يأتي مثال يبين كيفيّة حساب المحيط:

• مثال: جد محيط مثلّث، إذا علمت أنّ أطوال أضلاعه على التّوالي: 3سم، 4 سم، 5سم.

قانون مساحة المثلّث قائم الزاوية

تُعرَّف المساحة على أنّها المنطقة الموجودة داخل حدود المُضلَّعات، وبما أنّ المثلّث من ضمن المُضلَّعات فمساحته هي عبارة عن المنطقة التي تقع داخله، أمّا طريقة حساب مساحة المثلّث قائم الزاوية فهي كمساحة باقي المثلّثات، وهي:[7][8][3]

وفيما يأتي بعض الأمثلة التي توضّح كيفيّة حساب مساحة المثلّث:

• مثال (1): احسب مساحة مثلّث قائم الزاوية، إذا علمت أنّ طول القاعدة يساوي 5سم، وارتفاعه يساوي 8سم.

• مثال2: احسب مساحة مثلّث قائم الزاوية، إذا علمت أنّ طول قاعدته يساوي 20م، وارتفاعه يساوي 12م.[3]

أنواع المثلّثات

من حيث الزوايا

تُقسَم أنواع المثلّثات حسب زواياها إلى ثلاثة أنواع، هي:[3][2]

• مثلّث قائم الزاوية (Right Triangle): فيه زاوية قياسها 90°، والزاويتان المتبقيتان حادّتان ومتتامّتان.
• مثلّث حادّ الزّوايا (Acute Triangle): فيه قياس كلّ زاوية من الزوايا الثلاثة أقلّ من 90°.
• مثلّث منفرج الزاوية (Obtuse Triangle): فيه زاوية قياسها أكثر من 90°، والزاويتان المتبقيتان حادّتان.

من حيث أطوال الأضلاع

تُقسَم أنواع المثلّثات حسب أطوال أضلاعها إلى ثلاثة أنواع، هي:[3][2]

• مثلّث متساوي الأضلاع (Equilateral Triangle): هو مثلث تتطابق أضلاعه الثلاثة في الطول، ولهذا فإنّ زواياه أيضاً مُتطابقة؛ قياس كلٍّ منها هو 60°.
• مثلّث متساوي الضّلعين أو السّاقين (Isosceles Triangle): هو مثلث يتطابق فيه ضلعان في الطول، وبهذا فإنّ الزاويتين المُجاورتين للضلعين المتطابقين متساويتان في قياسهما (زاويتا القاعدة متطابقتان).
• مثلّث مختلف الأضلاع (Scalene Triangle): هو مثلث لا تتطابق أضلاعه في الطول، وعليه فإنّ زواياه أيضاً مختلفة في القياس.

المراجع

1. ^ أ ب ت ث شادية غرايبة، معن المومني، ياسمين نصير. (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف الثامن (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم-إدارة المناهج والكتب المدرسيّة، صفحة: 106، 112-113/ملف(102-127)، الجزء الثاني. بتصرّف.
2. ^ أ ب ت أحمد حلمي، محمود سليم (2005)، الرسم الهندسي (الطبعة الأولى)، القاهرة: مجموعة النيل العربيّة، صفحة: 69-75. بتصرّف.
3. ^ أ ب ت ث ج ح "Triangles", www.mathsisfun.com, Retrieved 5-12-2017. Edited.
4. ↑ "Right-Angled Triangles", www.mathsisfun.com, Retrieved 27-12-2017. Edited.
5. ↑ "Pythagoras' Theorem", www.mathsisfun.com, Retrieved 27-12-2017. Edited.
6. ^ أ ب ت "Pythagoras' Theorem", www.mathsisfun.com, Retrieved 6-12-2017. Edited.
7. ↑ "?What is Area", www.mathsisfun.com, Retrieved 18-12-2017. Edited.
8. ↑ "Area: Definition & Counting Method", www.study.com, Retrieved 17-12-2017. Edited.