تحليل كثيرات الحدود
طرق تحليل كثيرات الحدود
تحليل كثيرات الحدود بأخذ العامل المشترك
يمكن دمج الحدود عند تطابق واحد أو أكثر منها، وذلك لاستخدامها في عملية التحليل، وهذا ما يعرف بالعامل المشترك الأكبر، ومن الأمثلة على ذلك ما يأتي:
- المثال الأول: 15س3+5س2-25س.[1]
يمكن الملاحظة بأن العامل المشترك الأكبر هو (5س)، لذلك تُقسّم جميع الحدود على هذا المقدار ليصبح الناتج كالآتي:5س(3س2+س-5).
- المثال الثاني: (3ص-5)(س+7)-ع(س+7).[2]
يمكن الملاحظة بأن العامل المشترك الأكبر هو (س+7)، لذلك تقسم جميع الحدود على هذا المقدار، فتصبح المعادلة كالآتي:(س+7)(3ص-5-ع).
تحليل كثيرات الحدود باستخدام الفرق بين مربعين
تُكتب العبارة التربيعية بصورة أس2+ب س+جـ، حيث إنّ أ لا تساوي صفراً، ومنه:[2]
- إذا كانت أ=1، وكان هنالك عبارة تربيعية س2+ب س+ج، فإنه عند التحليل يكون الناتج:
(س+هـ)(س+ع) = س2+(هـ+ع)س+هـ عإذن: هـ+ع=ب ، هـ*ع=جـ
- المثال الأول: س2+5س-6، يتم تحليلها بتلك الطريقة:
(س+6)(س-1).
- المثال الثاني: س2-4س-12.[1]
إنّ الرقمَين الذين يكون مجموعهما (−4)، وحاصل ضربهما (−12)؛ هما: (−6، 2)، لذلك يكون الناتج:(س-6)(س+2).
تحليل كثيرات الحدود باستخدام التجميع
تستخدم هذه الطريقة عند عدم وجود عامل مشترك بين الحدود جميعها إلا أنه قد يوجد بين كل حدين أو أكثر عامل مشترك، لذا يتم تجميع الحدود التي تحتوي عاملاً مشتركاً، ثم أخذ العامل المشترك كما تم شرحه سابقاً.[1]
- المثال الأول: 2س ص+3س-14ص-21.[2]
2س ص+3س-(14ص+21)س(2ص+3)-7(2ص+3)(س-7)(2ص+3)
- المثال الثاني: 3س2-6س-4س+8.[1]
3س(س-2)-4(س-2)(س-2)(3س-4)
تحليل كثيرات الحدود باستخدام المتطابقات
فيما يأتي بعض المتطابقات التربيعية والتكعيبية:[1]
- المتطابقة الأولى: س2-أ2=(س+أ)(س-أ).
- المتطابقة الثانية: أ3-ب3=(أ-ب)(أ2+أب+ب2).
- المتطابقة الثالثة: أ3+ب3=(أ+ب)(أ2-أب+ب2).
يوجد العديد من الأمثلة على تحليل كثيرات الحدود باستخدام المتطابقات، ومنها ما يأتي:[1]
- المثال الأول: 27س3+8.
تعدّ 27س3مربعاً كاملاً، و8 أيضاً مربع كامل، لذلك يتم استخدام المتطابقة كما يأتي:27س3+8(3س)3+(2)3(3س+2)((3س)2-(3س*2)+(2)2)(3س+2)(9س2-6س+4)
- المثال الثاني: 20س2-405
لا يطابق المثال أي متطابقة، إلا أنه يمكن استخدام العامل المشترك للوصول إلى متطابقة يمكن حلّها كالآتي:5(4س2-81)5((2س2-92))5((2س+9)(2س-9)).
درجات كثيرات الحدود واستخداماتها
يوجد عدة درجات لكثيرات الحدود التي تستخدم لحل المسائل الرياضية، وهي:[3]
- الصفري: يسمى الثابت، ويستخدم في وصف الكميات التي لا تتعرض للتغيير.
- الخطي: على عكس الصفري فإنه يستخدم لوصف الكميات المتغيرة لكن بمعدل ثابت، ويكثر استخدامه أيضاً في الحسابات الهندسية التي تركز على الطول.
- التربيعي: يستخدم في الكميات المتغيرة التي تتغير مع بعض كميات التسارع والتباطؤ، وكذلك يستخدم لحل المسائل الهندسية ثنائية الأبعاد.
- التكعيبي: يستخدم في حل المسائل الهندسية ثلاثية الأبعاد التي تنطوي على الحجم.
- تجدر الإشارة إلى عدم وجود أسماء خاصة لكثيرات الحدود من الدرجة الرابعة فأكثر، إلا أنها في الوقت نفسه تمتلك العديد من التطبيقات المتنوعة.
المراجع
- ^ أ ب ت ث ج ح "Factoring Polynomials", www.cliffsnotes.com, Retrieved 21-9-2019. Edited.
- ^ أ ب ت "Polynomials and Factoring", www.math.toronto.edu, Retrieved 21-9-2019. Edited.
- ↑ Andy Hayes, Mehul Arora, Hobart Pao and others , "Polynomials"، brilliant.org, Retrieved 17-2-2019. Edited.
