قوانين الدائرة في الرياضيات

الدائرة

الدائرة هي عبارة عن المحلّ الهندسي لمجموعة نقاط تتصل مع بعضها البعض بحيث تبعد بعداً ثابتاً عن نقطة تقع في منتصفها تسمّى المركز، فمثلاً إذا قمنا برسم خط يصل مركز الدائرة بأيّ نقطة من النقاط المتصلة مع بعضها البعض ينشأ ما يسمّى بنصف القطر، أمّا قطر الدائرة فهو قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين من النقاط الواقعة على سطح الدائرة بشرط أن تمرّ بمركزها، وقوس الدائرة هو جزء متصل من أجزاء محيطها، وتسمّى المساحة المحصورة والمحسوبة بين نصفي قطر الدائرة وقوسها بالقطاع الدائريّ.

قوانين الدائرة

من أهمّ القوانين المرتبطة بالدائرة قانوني المساحة والمحيط، فالقانون الأوّل هو قانون مساحة الدائرة يُعطى بالعلاقة التالية:

( ط×مربع نصف القطر)

حيث ط هي ثابت رياضي مقداره تقريباً 3.14159.

القانون الثاني هو محيط الدائرة:

( ط×قطر الدائرة ) أو ( 2×ط×نصف القطر)

يمكننا تخيّل اكتشاف العلماء لقانون محيط الدائرة كالآتي: أحضروا دائرة مصنوعة من الخيط ثمّ فكوها، وقاسوا طول الخيط المفكوك أي محيط الدائرة ثنائيّة البعد ثمّ قاموا بإعادة العمليّة نفسها على دوائر أخرى، فلاحظوا أنّ النسبة بين طول الخيط المفكوك على قطر الدائرة تكون دائماً ثابتة غير متغيّرة ألا وهي قيمة ط، ولتسهيل العمليات الحسابيّة في الرياضيات والفيزياء تُعتبر قيمتها 3.14.

مثال 1

بركة دائرية الشكل، نصف قطرها يساوي 5 سم، احسب مساحتها ومحيطها.

الحل :

مساحة الدائرة=ط×مربع نصف القطر

مساحة الدائرة=3.14×25

مساحة الدائرة=78.5 سم2.

محيط الدائرة=2×ط×نصف القطر

محيط الدائرة=2×3.14×5

محيط الدائرة=31.4 سم.

مثال 2

إذا علمت أنّ مساحة الدائرة تساوي 50.24 سم2، احسب محيطها.

الحلّ:

مساحة الدائرة=ط×مربع نصف القطر

50.24 =3.14×مربع نصف القطر

50.24/3.14=مربع نصف القطر

16=مربع نصف القطر

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين:

4 سم=طول نصف القطر.

محيط الدائرة=2×ط×نصف القطر

محيط الدائرة=2×3.14×4

محيط الدائرة=25.12 سم.

مثال 3

إذا كان محيط الدائرة يعطى بالعلاقة (21.98/ط=طول القطر)، جد طول قطر الدائرة ومساحتها.

الحلّ:

محيط الدائرة=ط×طول القطر

محيط الدائرة/ط=طول القطر

من العلاقة المُعطاة في السؤال نجد مقدار طول القطر:

21.98/ط=طول القطر

21.98/3.14= طول القطر

7 سم= طول قطر الدائرة.

لإيجاد مساحة الدائرة نجد طول نصف قطرها:

طول نصف القطر=طول قطر الدائرة/2

طول نصف القطر =7/2

ثمّ نطبّق على قانون المساحة كما يلي:

مساحة الدائرة=ط×مربع نصف القطر

مساحة الدائرة=3.14×3.5×3.5

مساحة الدائرة=38.465 سم2.

مثال 4

احسب طول قطر الدائرة إذا علمت أنّ محيطها يساوي 12.56 سم.

الحلّ:

محيط الدائرة=2×ط×نصف القطر

12.56 = 2 × 3.14 × نصف القطر

12.56 = 6.28 × نص القطر

12.56 / 6.28 = نصف القطر

2 سم = نصف القطر

طول القطر = 2 × نصف القطر

طول قطر الدائرة = 2 × 2

طول قطر الدائرة = 4 سم.