قانون مساحة المخروط
تعريف المخروط
المخروط (بالإنجليزيةCone) هو عبارة عن مجسم له قاعدة واحدة مسطحة على شكل دائرة، وله جانب واحد فقط ويكون مُنحنِيَ الشكل، وهذا الجانب عبارة عن مثلّث قائم الزاوية يلتف حول أحد ضلعيه الأقصر من الوتر، أما النقطة المدببة التي تقع أعلى المخروط فتُسمّى رأس المخروط.[1]
حساب مساحة المخروط
لا بد من التذكير أولاً بأن المخروط القائم متشكل من قطاع دائري، وأن مساحة القطاع الدائري تمثل المساحة الجانبية للمخروط القائم، أما قاعدة المخروط فهي عبارة عن دائرة، ولحساب المساحة الكلية للمخروط القائم لابُد من حساب المساحة الجانبية بالإضافة إلى مساحة القاعدة.[2]
وبهذا فإن:[2]
كما يمكن استخدام القانون الآتي لحساب المساحة الجانبية للمخروط القائم وهي:[2]
فيما يأتي أمثلة توضح كيفية حساب مساحة سطح المخروط القائم:
- مثال1: ورقة على شكل نصف دائرة، قطرها يساوي6.28 سم، فإذا علمت أنه تم تحويلها لمخروط قائم أجوف، احسب المساحة الجانبية لهذا المخروط؟[2]
- مثال2: إناء على شكل مخروط دائري قائم، نصف قطر قاعدته تساوي 15سم، وطول راسمه يساوي 30سم، فإذا علمت أنه يراد تغطيته بورق تغليف احسب مساحة ورق التغليف اللزم لتغطتية الإناء.[2]
- مثال3:جد المساحة الكلية لمُجسم يمثل مخروط قائم، إذا علمت أن نصف قطر قاعدته يساوي7م، أما ارتفاعه فيساوي 24 م؟[2]
- (ل)² = (نق)²+ (ع)²
- (ل)² = (7)²+ (24)²
- (ل)² = 625
- وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين، ينتج أن:
- طول الراسم=25سم.
حساب حجم المخروط
لو تمّ إحضار أسطوانة ومخروط لهما نفس القاعدة والارتفاع، وطُلب تعبئة الأسطوانة بالرمل باستخدام المخروط، فسنلاحظ بأن الأسطوانة ستمتلئ بالرمل بعد تعبئة المخروط ثلاثة مرات بالرمل وسكبه بالأسطوانة، ومن هنا تستنتج بأن حجم الأسطوانة يساوي ثلاثة أمثال حجم المخروط المشترك معها بنفس الارتفاع والقاعدة.[2]
فيما يأتي مثال يوضح كيفية حساب محيط المخروط القائم:
- مثال: احسب حجم مجسم على شكل مخروط، إذا علمت أن طول قاعدته يساوي24سم، أما ارتفاعه فيساوي 16سم؟[2]
خطوات صنع مخروط باستخدام الورق
لتمثيل مخروط ورقي أو كرتوني بطريقة سهلة وبسيطة، ما عليك سوا اتباع الخطوات الآتية:[2]
- تُرسَم دائرة على ورقة، تم يُقَص الشكل الدائري من الورقة.
- يُؤخذ من الدائرة التي تم قصها، قطاعاً دائرياً، حيثُ يمكن تسمية الضلع الأول للقطاع الدائري م أ ، والضلع الثاني م ب، أما القوس فهو أ ج ب.
- يُلَف القطاع بحيث تنطبق م ب مع م أ تماماً، ثم يتم تثبيتهما بدقة باستخدام الاصق.
- يُثبَّت القوس أ ج ب، كقاعدة دائرية للمخروط، وينتج حينها مخروط دائري، فيه:[2]
- النقطة م هي رأس المخروط
- أ م تمثل راسم المخروط
- أما القوس أ ج د فهو عبارة عن قاعدة المخروط
- وأخيراً (ع ) تُمثل ارتفاع المخروط، حيث أن (ع) يساوي طول (م د)، علماً بأن النقطة (م) هي رأس المخروط، أما النقطة (د) فهي عبارة عن مركز قاعدة المخروط (مركز الدائرة).
خطوات صنع مخروط باستخدام الورق
لتمثيل مخروط ورقي أو كرتوني بطريقة سهلة وبسيطة، ما عليك سوا اتباع الخطوات الآتية:[2]
- تُرسَم دائرة على ورقة، تم يُقَص الشكل الدائري من الورقة.
- يُؤخذ من الدائرة التي تم قصها، قطاعاً دائرياً، حيثُ يمكن تسمية الضلع الأول للقطاع الدائري م أ ، والضلع الثاني م ب، أما القوس فهو أ ج ب.
- يُلَف القطاع بحيث تنطبق م ب مع م أ تماماً، ثم يتم تثبيتهما بدقة باستخدام الاصق.
- يُثبَّت القوس أ ج ب، كقاعدة دائرية للمخروط، وينتج حينها مخروط دائري، فيه:[2]
- النقطة م هي رأس المخروط
- أ م تمثل راسم المخروط
- أما القوس أ ج د فهو عبارة عن قاعدة المخروط
- وأخيراً (ع ) تُمثل ارتفاع المخروط، حيث أن (ع) يساوي طول (م د)، علماً بأن النقطة (م) هي رأس المخروط، أما النقطة (د) فهي عبارة عن مركز قاعدة المخروط (مركز الدائرة).
المراجع
- ^ أ ب ت "Cone", www.mathsisfun.com, Retrieved 2-1-2018. Edited.
- ^ أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز س ش ص شادية غرايبة، معن المومني، ياسمين نصير.(2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف الثامن (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة: 138-142/ ملف: (128-155)، ملف إجابات الأسئلة: (199-217)، الجزء الثاني. بتصرّف.
- ^ أ ب "Cones: Definition, Area & Volume", www.study.com, Retrieved 2-1-2018. Edited.