الأعداد الصحيحة
(بالإنجليزية: The Integer numbers) هي مجموعة الأعداد التي إذا كُتبت على صورة كسر، فإن مقامها دائماً عبارة عن واحد، وتتكون الأعداد الصحيحة من مجموعة الأعداد الموجبة والسالبة وكذلك العدد صفر، وبصورة أخرى هي اتّحاد لمجموعة الأعداد الطبيعية، والصفر، وسالب الأعداد الطبيعية، أمّا عن إمكانية تحديد آخر عدد صحيح؛ فهذا مستحيل لأنّ مجموعة الأعداد الصحيحة مجموعة غير منتهية.[1]
الأعداد الزوجية والأعداد الفردية
(بالإنجليزية: Even and odd numbers) تُسمى مجموعة الأعداد الصحيحة التي يمكن كتابتها على صورة 2ن، حيث إن (ن) تنتمي لمجموعة الأعداد الصحيحة، بمجموعة الأعداد الزوجية، أما مجموعة الأعداد الصحيحة التي يمكن كتابتها على صورة 2ن+1، حيث إن (ن) تنتمي لمجموعة الأعداد الصحيحة، بالأعداد الفردية، فعند استخدام خوارزمية القسمة لقسمة العدد الصحيح (ن) على العدد 2 سيكون باقي القسمة إما صفراً أو واحداً، وبهذا فإن مجموعة الأعداد الصحيحة تنقسم إلى جزئين، وهما مجموعة الأعداد الزوجية ومجموعة الأعداد الفردية، فأي عدد الصحيح إما أن يكون زوجياً أو فردياً، وليس الاثنين معاً. ويُعتبر مفهوم الأعداد الزوجية والفردية مفهوماً سلساً وبسيطاً، ومع بساطته هذه فهو له الدور الأكبر في مسائل نظرية الأعداد.[2][3]
وبمعنىً آخر الأعداد الزوجية هي عبارة عن أي عددٍ صحيح يمكن تجزئته لمقدارين (تقسيمه على العدد 2)، ومن الأمثلة على الأعداد الزوجية (-2, 0, 2, 4, 6, 8,......)، أما العدد الفردي فهو العدد الذي لا يمكن تجزئته لمقدارين تماماً، أي لا يمكن قسمته على العدد 2 لأن ناتج القسمة ليس عدداً صحيحاً، ومن الأمثلة على الأعداد الفردية (-1, 1, 3, 5, 7, 9,.....).[4]
خصائص الأعداد الزوجية
للأعداد الزوجية مجموعة من الخصائص التي تميزها عن غيرها من مجموعات الأعداد، ومن بعض هذه الخصائص ما يأتي:[5]
- تعد مجموعة الأعداد الزوجية مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الصحيحة، في حين إنها تقبل القسمة على 2.
- يعتبر العدد صفر عدداً زوجياً لأن أي عدد يلي أو يسبق العدد الفردي هو عدد زوجي بالتأكيد، والعدد صفر يسبق العدد واحد (1 عدد فردي) وبهذا فهو عدد زوجي.
- تُعتبر مجموعةُ الأعداد الزوجية مجموعة غير منتهية حيث لا يمكن حصر الرقم الأخير لها، (2, 4, 6, 8, 10,.......إلخ).
خصائص الأعداد الفردية
للأعداد الفردية مجموعة من الخصائص التي تميزها عن غيرها من مجموعات الأعداد، ومن بعض هذه الخصائص ما يأتي:[5]
- تعد مجموعة الأعداد الفردية مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الصحيحة، في حين أنها لا تقبل القسمة على 2.
- تعتبر مجموعة الأعداد الفردية مجموعة غير منتهية حيث لا يمكن حصر أو تحديد العدد الأخير لها، (3, 5, 7, 9, 11, 13,.......إلخ).
- بالنسبة للعلاقة بين الأعداد الزوجية والفردية فهي تتشكّل بصورة نمط تتناوب فيه الأعداد الزوجية والفردية بشكل مستمر إلى أجل غير مُسمّى، فمثلاً الأعداد 1, 2, 3, 4 (1: فردي، 2: زوجي، 3: فردي، 4: زوجي).
العمليات على الأعداد الزوجية والفردية
عمليتي الجمع والطرح لمجموعة الأعداد الزوجية والفردية
إن مجموعة الأعداد الصحيحة كغيرها من مجموعات الأعداد، تجري عليها العمليات الحسابية من جمع وطرح وغيرها، وبما أن الأعداد الصحيحة مجزّئة إلى أعداد زوجية وأخرى فردية فلا بد من أن تتم عليها العمليات الحسابية، وفي ما يأتي توضيح لعملية الجمع وناتج كل منها:[4]
- عند جمع عددين زوجيين فإن الناتج بالتأكيد عدد زوجي، فمثلاً 4+2=6؛ عدد زوجي+ عدد زوجي= عدد زوجي.
- عند جمع عددين الأول زوجي والآخر فردي، فإن الناتج هو عدد فردي، 6+3=9؛ عدد زوجي+ عدد فردي= عدد فردي.
- عند جمع عددين الأول فردي والآخر زوجي، فإن الناتج هو عدد فردي، 5+12=17؛ عدد فردي+ عدد زوجي= عدد فردي.
- عند جمع عددين فرديين فإن الناتج بالتأكيد عدد زوجي، فمثلاً 3+5=8؛ عدد فردي+ عدد فردي= عدد زوجي.
ويُستنتج مما سبق بأنه عند جمع عددين مختلفين فإن الناتج هو عدد فردي، أما في حال جمع عددين متشابهين فإن الناتج سيكون عدداً زوجياً، أما بالنسبة لعملية الطرح فهي تعامل المعاملة ذاتها ولها النتائج نفسها.[4]
عملية الضرب لمجموعة الأعداد الزوجية والفردية
تُعتبر عملية الضرب إحدى العمليات الحسابية المهمة التي تتم على الأعداد باختلاف أنواعها، ولإجراء عملية الضرب على الأعداد الزوجية والفردية هنالك مجموعةٌ من النواتج الثابتة والتي لا تتغير، وفي ما يأتي توضيح لعمليات الضرب وناتج كل منها:[4]
- حاصل ضرب عددين زوجيين ببعضهما البعض، ينتج عنه عدد زوجي، فمثلاً 4×8=32، أي إن:عدد زوجي × عدد زوجي= عدد زوجي.
- حاصل ضرب عدد زوجي في عدد فردي، ينتج عنه عدد زوجي، فمثلاً 4×7=28، أي إن:عدد زوجي × عدد فردي= عدد زوجي.
- حاصل ضرب عدد فردي في عدد زوجي، ينتج عنه عدد زوجي، فمثلاً 5×8=40، أي إن:عدد فردي×عدد زوجي=عدد زوجي.
- حاصل ضرب عددين فرديين ببعضهما البعض، ينتج عنه عدد فردي، فمثلاً 5×7=35، أي إن:عدد فردي×عدد فردي=عدد فردي.
ويُستنتج مما سبق بأنه عند ضرب أي عدد زوجي بعدد آخر سواءً كان فردياً أو زوجياً فإن الناتج هو عدد زوجي، أما في حال ضرب عددين كلاهما فردي فإن الناتج سيكون عدداً فردياً.[4]
أمثلة توضح كيفية تصنيف الأعداد الزوجية والفردية
- مثال: في المسألة الآتية صنّف الأعداد الآتية إلى أعداد زوجية أو فردية، مع بيان السبب.
فيديو تعريفي عن مجموعات الأعداد
للتعرف على المزيد تابع الفيديو الآتي.[6]
المراجع
- ↑ أ. نادية إسماعيل البرقلي ، أساسيات التفاضل والتكامل وتطبيقاتهما (الطبعة الأولى)، مصر: منشورات جامعة6 اكتوبر، صفحة 11-13، جزء الأول. بتصرّف.
- ↑ دوغلاس ب. ويست، مقدمة في نظرية الرسم البياني، صفحة 473. بتصرّف.
- ↑ معروف عبدالرحمن سمحان، ميساء بنت محمد القرشي، أروى بنت محمد الأمين الشنقيطي، رياضيات الأولمبياد: نظرية الأعداد: Mathematics Olympiad: Number Theory، صفحة 86. بتصرّف.
- ^ أ ب ت ث ج "Even and Odd Numbers", www.mathsisfun.com, Retrieved 10-3-2018. Edited.
- ^ أ ب "What Are Odd & Even Numbers? - Definition & Examples", www.study.com, Retrieved 9-3-2018. Edited.
- ↑ فيديو تعريفي عن مجموعات الأعداد.