المتوسط الحسابي
يُعرف المتوسط الحسابي في الإحصاء والرياضيات بأنّه القيمة التي تتجمع حولها مجموعة قيم، ومن خلالها نستطيع الحكم على كلّ قيم المجموعة، فهذه القيمة هي الوسط الحسابي، ويتم حساب المتوسط الحسابي لمجموعة من القيم من خلال جمع قيم كل عناصر هذه المجموعة وقسمة ناتج المجموع على عدد عناصر المجموعة، ورياضياً هو: المتوسط الحسابي= مجموع كلّ عناصر المجموعة/ عدد عناصر المجموعة.
خصائص المتوسط الحسابي
- يكون المتوسط الحسابي منحصراً دوماً بين القيمة الصغرى والقيمة الكبرى في مجموعة القيم، بل إنّ المتوسط لمجموعة أعداد أيضاً هو النقطة على محور الأعداد والتي يكون مجموع كل أبعادها عن كل قيمة من المجموعة مساوياً للصفر.
- لا يعدّ المتوسط الحسابي من المعلومات الإحصائيّة القويّة؛ لأنّه حساس كثيراً لأي عينات شاذة، مثل التي تبعد كثيراً عن أغلب العينات، ونستطيع القول بإنّه كلما كانت العينة الشاذة أبعد زاد تأثيرها في المتوسط الحسابي، وأيضاً قد لا تكون قيمة المتوسط الحسابي من ضمن قيم المجموعة؛ فقد تكون عدداً نسبياً في حين أنّ عناصر المجموعة أعداد صحيحة.
- يوجد مفهوم آخر أقوى من المتوسط الحسابي لكنه يشبهه، وهذا الوسيط هو القيمة الموجودة بالضبط في منتصف مجموعة القيم.
- يساوي مجموع انحرافات القيم عن الوسط الحسابي لأي عينة من العينات صفراً، فمثلاً مجموع انحرافات القيم 8،6،4،2،0، عن وسطها الحسابي يكون:
- الوسط الحسابي= (0+2+4+6+8)/5=4.
- مجموع الانحرافات= (0-4)+(2-4)+(4-4)+(6-4)+(8-4)= 0.
أمثلة لحساب المتوسط الحسابي
- مثال1: لمجموعة القيم التالية 10،20،85،8،36،78، احسب المتوسط الحسابي ومجموع الانحرافات لقيم المجموعة عن المتوسط الحسابي.
- مثال 2: إذا كان المتوسط الحسابي لمجموعة من القيم هو: 1، 4، 8، 12، س، 5، هو 6، فما هي قيمة العنصر س؟
- مثال 3: إذا كان المتوسط الحسابي لدرجات 8 طلاب هو 70، وبعد المراجعة استُبعد طالب لحصوله على الدرجة 30، فهل يكون لهذا الاستبعاد الذي حصل تأثير في المتوسط الحسابي؟
- الحل: المتوسط الحسابي= مجموع كلّ عناصر المجموعة/ عدد عناصر المجموعة.
- المتوسط الحسابي= (10+20+85+8+36+78)/6.
- المتوسط الحسابي= 237/6=39.5.
- مجموع الانحرافات عن المتوسط الحسابي=(10-39.5)+(20-39.5)+(85-39.5)+(8-39.5)+(36-39.5)+(78-39.5)=0.
- الحل: مجموع القيم= 1+4+8+12+5+س.
- عدد عناصر المجموعة= 6.
- المتوسط الحسابي= مجموع قيم عناصر المجموعة/ عدد عناصر المجموعة.
- 6= (30+س)/ 6.
- 6*6= 30+س.
- 36=30+س.
- 36-30= س.
- 6= س.
- الحل: نعم يتأثر المتوسط الحسابي، وذلك بسبب النقص الذي حصل في عدد الطلاب وبالتالي نقص في عدد عناصر المجموعة ليصبح سبعة طلاب بعد أن كانوا ثمانية، وبالتالي: مجموع القيم= المتوسط الحسابي×عدد القيم.
- مجموع القيم قبل الاستبعاد= 70*8= 560.
- بما أنّ عدد القيم بعد الاستبعاد قل من 8 إلى 7، بالتالي سنطرح قيمة هذا المستبعد من مجموع القيم، لتصبح:
- 560-30= 530.
- عدد القيم=7.
- المتوسط الحسابي الجديد بعد الاستبعاد= مجموع القيم الجديد/عدد القيم الجديد.
- المتوسط الحسابي الجديد= 530/7= 75.