يُعرَّف ارتفاع المثلث بأنه الخط العمودي النازل من إحدى زوايا المثلث -رأس المثلث- إلى الضلع المقابل لهذه الزاوية -قاعدة المثلث-، وبالتالي فإن للمثلث ثلاثة ارتفاعات؛ والارتفاع هو أقصر مسافة تصل بين رأس المثلث والضلع المقابل له، وإذا كانت إحدى الزوايا المقابلة للرأس المُختار منفرجة، فسوف يكون ارتفاع المثلث خارج حدود المثلث بحيث يمكن تحديده بإسقاط عمود من رأس المثلث على امتداد قاعدته.[1]
المثلث شكل هندسي منتظم ذو ثلاثة أضلاع، وثلاث زوايا ويكون مجموع زواياه 180°، ويُمكن تصنيف المثلثات إلى أنواع وفقاً للأضلاع أو الزوايا كالآتي:[2]
يمكن تصنيف المثلّثات تبعاً للأضلاع إلى ثلاثة أنواع:[2]
يمكن تصنيف أنواع المثلثات وفقاً للزوايا كالآتي:[2]
يتم حساب ارتفاع المثلث إذا عُلمت مساحته وطول قاعدته بواسطة قانون مساحة المثلث.[3]
مساحة المثلث = 1/2 القاعدة × الارتفاع
ويمكن تحويل قانون مساحة المثلث إلى صيغة مباشرة لحساب ارتفاع المثلث كالآتي:
الارتفاع = 2 × المساحة / القاعدة
مثال: ما ارتفاع مثلث مساحته 20 سم2 وطول قاعدته 4 سم؟[4]
الحل: بتعويض القيم المعطاة في قانون المساحة
مساحة المثلث = 1/2 ×القاعدة × الارتفاع
20 = 1/2 × 4 × الارتفاع
20 = 2 × الارتفاع، وبقسمة طرفي المعادلة على 2، يصبح:
الارتفاع = 10 سم
تختص نظرية فيثاغورس بحساب ارتفاع المثلث القائم الزاوية إذا عُلم طول قاعدته ووتره وفقا للصيغة الآتية:[5]
الوتر2 = القاعدة 2 × الارتفاع 2
مثال: مثلث قائم الزاوية طول قاعدته 6 سم، وطول الوتر 7 سم، ما ارتفاعه؟[5]
الحل: بتعويض المعطيات المتوفرة في نص نظرية فيثاغورس
الوتر2 = القاعدة 2 × الارتفاع 2
7 2 = 6 2 + الارتفاع 2
49 = 36 + الارتفاع 2 وبطرح 36 من طرفي المعادلة
الارتفاع = 13√، ويساوي تقريبا 3.6 سم.
يُمكن استخدام نظرية فيثاغورس في معرفة ارتفاع المثلث متساوي الساقين إذا عُلم طول قاعدته وطول أحد ضلعيه المتساويين، وذلك بالقيام بالخطوات الآتية:[6]
مثال: مثلث متساوي الساقين طول أحد ضلعيه المتساويين 5 سم، وطول قاعدته 6 سم، فما ارتفاعه؟[7]
الحل: بتطبيق الخطوات السابقة:
تُساعد الاقترانات المثلثية ( بالإنجليزية: Trigonometric Functions) على إيجاد الزوايا والمسافات، وتُستخدم كثيراً في العلوم والهندسة وألعاب الفيديو، ويمكن من خلالها إيجاد الزوايا أو الأضلاع في المثلثات، وأكثر المثلثات شيوعاً في استخدامها هو المثلث القائم الزاوية.[8]
تُستخدم تلك الاقترانات عندما يكون معلوماً في المثلث طول ضلعين وزاوية محصورة بينهما، وباعتبار أنَّ الزّاوية المحصورة بين القاعدة والوتر هي س، فيمكن التّعبير عن هذه الاقترانات كما يأتي:[9]
يمكن اشتقاق ثلاثة اقترانات أخرى من الاقترانات السابقة:
يمكن استخدام أحد القوانين الآتية في حساب ارتفاع المثلث أَ بَ جَ بحيث أَ بَ جَ زوايا المثلث ، و أ ب ج أضلاعه:
أ2=ب2+ج2-2ب ج جتا(أَ).
ب2=أ2+ج2-2أج جتا(بَ)
ج2=أ2+ب2-2أب جتا(جَ).
مثال 1: مثلث متساوي الساقين طول ضلعه 10 سم وقياس الزاوية المحصورة بينهما 120° ما ارتفاعه؟[12]
الحل: بإسقاط عمود من رأس المثلث بحيث ينصف الزاوية إلى منتصف قاعدته يتكون مثلثين قائمي الزاوية متطابقين الوتر في أحدهما 10 سم وزاوية الرأس 60°.
باستخدام قانون (جتا س) = الضلع المُجاور للزاوية س/ الوتر، وباعتبار أن الارتفاع هو الضلع المجاور للزاوية.
(جتا س) = الارتفاع / الوتر
جتا 60° = الارتفاع / 10 وبضرب طرفي المعادلة ب 10
الارتفاع = جتا 60° × 10 = 5 سم
المثلث المتساوي الأضلاع هو مثلث تتساوى فيه جميع أضلاعه وجميع زواياه وتساوي 60°، وبما أن جميع الارتفاعات الثلاثة سيكون لها نفس الطول إذن يمكن حساب الارتفاع مباشرة من خلال العلاقة الرياضية الآتية:[3]
الارتفاع = (طول الضلع × 3 √) / 2
مثال: مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 12 سم ما ارتفاعه؟[13]
الحل: بتعويض طول الضلع بالعلاقة السابقة:
الارتفاع = (طول الضلع × 3 √) / 2
الارتفاع = ( 12 × 3 √ ) / 2
الارتفاع = 6 × 3 √ وباستخراج قيمة 3 √ بواسطة الآلة الحاسبة يصبح:
الارتفاع = 10.39 سم تقريباً
يمكن أيضاً حساب ارتفاع مثلث متساوي الأضلاع باستخدام نظرية فيثاغورس وذلك بتطبيق نفس الخطوات السابقة المتبعة في مثلث متساوي الساقين.[4]