قانون محيط المستطيل ومساحته
المستطيل
المستطيل هو أحد الأشكال الهندسية المهمّة في مجالات العلوم التطبيقيّة والهندسية، فهو شكل رباعي ثنائي البعد، له أربعة زوايا قائمة قياسها 90 درجة مئوية، وأربعة أضلاع متعامدة بحيث إنّ كلّ زوجين من متقابلين متساويين، من أبرز حالات المستطيل الخاصّة المربّع، أي أنّ المربع هو مستطيل تتساوى جميع أضلاعه، كما يعتبر المستطيل حالة خاصّة من متوازي الأضلاع.
خصائص المستطيل
نقول عن شكل رباعي أنّه مستطيل إذا تحققت فيه الشروط التالية:
- إذا كانت جميع زواياه تساوي بعضها البعض.
- إذا كان متوازي أضلاع وتساوى فيه قطراه وكانت إحدى زواياه قائمة.
- إذا كان متوازي أضلاع (أ ب ج د) وكان المثلثان (أ ب ج) و(ج د أ) يطابق كلٌ منهما الآخر.
قوانين المستطيل
بما أنّ المستطيل شكل ثنائي البعد يمتاز بأنّ له بعدين هما العرض والطول، إذن يمكن حساب محيطه من المعلومات المعروفة لدى الجميع عن المضلعات المنتظمة الرباعية، وبالتالي فإنّ محيطه هو عبارة عن مجموع أطوال أضلاعه، وبصيغة رياضية يُكتب قانون محيطه كما يلي:
محيط المستطيل=مجموع أطوال أضلاعه
محيط المستطيل=2×(الطول+العرض)
أما عن قانون مساحته فإنّها تساوي حاصل ضرب طوله في عرضه، وبصيغة رياضية تُمَثَّل كما يلي:
مساحة المستطيل=الطول×العرض
أمثلة توضيحية
مثال 1 :
بنى عامل بناء بيت على شكل مستطيل، طوله 8م وعرضه 6م، ما هي مساحة البيت ومقدار محيطه؟
الحل :
مساحة المستطيل=الطول×العرض
مساحة المستطيل=8 م×6م
مساحة المستطيل=48م2
مساحة البيت=48م2.
محيط المستطيل=(2×الطول+العرض)
محيط المستطيل=(2×8 م+6 م)
محيط المستطيل=(2×14م)
محيط المستطيل=28م
محيط البيت=28م
مثال 2 :
بركة سباحة مستطيلة الشكل محيطها 50م وعرضها 10م، ما هي مساحتها؟
الحل :
نجد طول البركة باستخدام قانون محيط المستطيل
محيط المستطيل=2×(الطول+العرض)
50 م=2×(الطول+10م)
50 م / 2=الطول+10م
25 م-10 م=الطول
15م=الطول
طول البركة=15م.
نجد مساحة البركة باستخدام قانون مساحة المستطيل
مساحة المستطيل=الطول×العرض
مساحة المستطيل=15م× 10م
مساحة المستطيل=150م2
مساحة البركة=150 م2.
مثال 3 :
إذا كان محيط حديقة مستطيلة الشكل هو 48 م ومساحتها 40م2، ما هو طولها وعرضها؟
الحلّ:
نفرض أنّ طول الحديقة=س
نفرض أن ّعرض الحديقة=ص
من قانون محيط المستطيل نستنتج المعادلة الأولى وهي كما يلي:
محيط المستطيل=2×(الطول+العرض)
48=2×(س+ص)
48 / 2=س+ص
14= س+ص
14-ص=س
من قانون مساحة المستطيل نستنتج المعادلة الثانية، وهي كما يلي:
مساحة المستطيل=الطول×العرض
40=س×ص
40 / ص=س
بتعويض المعادلة الثانية في المعادلة الأولى:
14-ص=(40 / ص)
14ص-(ص2)=40
14ص-(ص2)-40=0
نضرب المعادلة في المقدار (-1)
(ص2)-14ص+40=0
نحلل المعادلة التربيعية لإيجاد قيمة ص:
(ص-4) (ص-10)=0
ص-4=0 أو ص-10=0
ص=4 أو ص=10
نستنتج أن عرض المستطيل يمكن أن يكون 4 أو م10.
لإيجاد قيمة طول المستطيل نعوض في المعادلة الأولى قيم عرض المستطيل:
14-ص=س
14-10=4
أو
14-4=10
بما أنّ طول الضلع الأكبر في المستطيل يمثل الطول إذن طوله=10م وعرضه=4م.