قانون مساحة المثلث قائم الزاوية

المثلث قائم الزاوية

يُعرّف المثلث قائم الزاوية بأنّه أحد أنواع المثلث الذي يُشكّل ضلعان منه زاوية قائمة قياسها 90 درجة، وزاويتين أخرتين حادتين، أي بمعنى آخر هو مثلث إحدى زواياه قائمة.

قانون مساحة المثلث قائم الزاوية

تُحسب مساحة المثلث قائم الزاوية كمساحة أي مثلث من خلال معرفة ارتفاع المثلث، وضربه في طول القاعدة، وقسمة الناتج على 2، أي أنّ:مساحة المثلث القائم الزاوية= 1\2× قاعدة المثلث× ارتفاع المثلث، وبما أنّ من خواص المثلث القائم وجود ثلاثة ارتفاعات يمكن كتابة القانون على صورتين حسب الارتفاع كما يأتي:

• إذا كان الارتفاع ضلعاً للزاوية القائم:

مساحة المثلث= 1\2× ضلعا الزاوية القائمة.

• إذا كان الارتفاع الخط العمودي على الوتر:

مساحة المثلث= 1\2× وتر المثلث القائم× طول الخط العمودي على الوتر.

أمثلة لإيجاد مساحة المثلث

مثال1: مثلث قائم الزاوية طول الضلع القائم يساوي 8 سم، وطول قاعدة الضلع القائم تساوي 6 سم ، أوجد مساحته؟

• الحل:

• مساحة المثلث القائم= 1\2× القاعدة× الارتفاع.
• مساحة المثلث= 1\2× طول قاعدة الضلع القائم× طول الضلع القائم.
• مساحة المثلث= 1\2× 6× 8 = 24 سم².

مثال2: إذا علمت أنّ مساحة مثلث قائم الزاوية تساوي 6 سم²، وارتفاعه يساوي 4 سم، احسب طول وتر المثلث؟

• الحل:
• نطبّق نظرية فيثاغوروس لمعرفة طول وتر المثلث:

• مساحة المثلث القائم= 1\2 × القاعدة × الارتفاع.
• 6= 1\2× القاعدة× 4.
• 6= 2× القاعدة.
• قاعدة المثلث= طول قاعدة الضلع القائم للمثلث= 6÷ 2= 3 سم.

• (طول الوتر)2= (ضلع القائمة الأول)2+ (ضلع القائمة الثاني)².
• (طول الوتر)2= (3)2+ (4)².
• (طول الوتر)2= 9+ 16= 25.
• طول الوتر= الجذر التربيعي ل25 = 5 سم.

خواص المثلث قائم الزاوية

• يسمى الضلع المقابل للزاوية القائمة بضلع الوتر، وهو أطول أضلاع المثلث القائم.
• يتكوّن المثلث من زاوية قائمة قياسها 90 درجة، وزاويتين متتامتين مجموع قياسهما يساوي 90 درجة.
• يُحقق المثلث القائم الزاوية نظريّة فيثاغوروس.
• يتضمن المثلث قائم الزاوية ثلاثة ارتفاعات، ضلعا الزاوية القائمة، بالإضافة إلى القطعة المستقيمة العموديّة على الوتر، وتلتقي هذه الارتفاعات في النقطة نفسها، وهي رأس الزاوية القائمة.

مثلثات قائمة خاصة

• المثلث القائم متطابق الضلعين: هو مثلث يجمع بين خواص المثلث القائم الزاوية وخواص المثلث متساوي الضلعين، حيث إنّ النسبة بين قياس زواياه 1:1:2، وقياسها 45ْ، 45ْ، 90ْ يُمكن الحصول عليه برسم قطر داخل مربع.
• المثلث القائم 30ْ ، 60ْ: هو مثلث قائم الزاوية، والنسبة بين قياس زواياه 1:2:3 وقياسها 30ْ ، 60ْ ، 90ْ، ويمكن الحصول على هذا المثلث بإنزال عمود من رأس مثلث متساوي الأضلاع.
• مثلث كيبلر: هو مثلث قائم الزاوية تُحقق أطوال أضلاعه معاً متتالية هندسية، وتُتبع النسبة بين هذه الأطوال النسبة الذهبيّة.

نظرية فيثاغوروس

هي من أهم النظريات التي تُميز المثلث القائم الزاوية، وتنص على أنّ مربع طول الوتر يكافئ مجموع مربعي الضلعين الآخرين.(طول الوتر)2= (ضلع القائمة الأول)²+ (ضلع القائمة الثاني)².