قانون المساحة الجانبية للأسطوانة

تعريف الأسطوانة

الأسطوانة هي مجسّم أساسي من المجسّمات ثلاثية الأبعاد، يتكوّن سطحها من مجموعة نقاط تبعد بعداً معيناً عن قطعة مستقيمة معطاة تُسمى محور الأسطوانة، أمّا الضلع المقابل للمحور يُسمّى براسم الأسطوانة.

تنتج الأسطوانة من دوران مستطيل بمنحنى مقفل حول أحد أضلاعه دورة كاملة، بحيث يُسمى محور الدوران بمحور الأسطوانة، فينشأ نتيجة هذا الدوران سطح منحني يُسمى بالسطح الأسطواني حيث لا يوجد أوجه جانبية، ويحدّ المجسم من الجهتين دائرتان تُشكلان قاعدتي الأسطوانة، ويُمثل البعد العمودي بينهما ارتفاع الأسطوانة، وإذا تعامد هذا الارتفاع مع محيط قاعدتي الأسطوانة تُسمّى أسطوانة قائمة وفيما عدا ذلك تُسمّى أسطوانة مائلة.

مساحة الأسطوانة الكليّة والجانبية

مساحة الأسطوانة الكلية تساوي المساحة الجانبية بالإضافة إلى مساحة القاعدتين العليا والسفلى، وبما أنّ السطح الأسطواني الجانبي منحنى قاعدته دائرة، فمساحته تساوي محيط القاعدة الدائرية مضروبة في ارتفاع الأسطوانة، بحيث إنّ محيط القاعدة يساوي طول القطر أو ضعف نصف القطر مضروباً في النسبة التقريبية ط، أمّا عن مساحة القاعدتين فهي عبارة عن مساحة دائرة مضروبة في 2، حيث إنّ مساحة الدائرة تساوي مربع نصف القطر مضروباً بالنسبة التقريبية ط، وبالتالي يكون قانون المساحة الكلية للأسطوانة كما يلي:

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين العليا والسفلى.

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × ارتفاع الأسطوانة = ( 2×نق×ط) × ع.

مساحة القاعدتين = 2 × مساحة القاعدة = 2 × نق2 × ط.

المساحة الكلية للأسطوانة = ( 2×نق ×ط×ع) + ( 2×نق2×ط).

المساحة الكلية للأسطوانة = 2×نق×ط ( ع +نق).

أمثلة محلولة على المساحة الجانبية والمساحة الكلية

مثال 1:

أوجد المساحة الجانبية لأسطوانة دائرية ارتفاعها يساوي 3م، وقطر قاعدتها يساوي 80سم ؟

الحل:

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × ارتفاع الأسطوانة.

نق = القطر ÷ 2 = 80 ÷2 = 40سم = 0.4 م.

المساحة الجانبية = 2 × نق × ط × ع = 2 × 0.4 × 3.14 × 3= 7.5 م2.

مثال 2:

احسب ارتفاع أسطوانة دائرية قائمة إذا علمت أنّ مساحتها الجانبية تساوي 400سم2، ونصف قطر قاعدتها يساوي 6سم؟

الحل:

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × ارتفاع الأسطوانة.

المساحة الجانبية = 400سم2.

محيط القاعدة = 2 × نق × ط = 2 × 6 × 3.14 = 37.68سم.

400 = 37.68 × ارتفاع الأسطوانة.

ارتفاع الأسطوانة = 400 ÷ 37.68 = 10.62سم.

مثال 3:

إذا كان ارتفاع أسطوانة دائرية قائمة يساوي 10سم، ونصف قطر قاعدتها يساوي 4 سم، احسب المساحة الكلية للأسطوانة؟

الحل:

نُطبّق القانون أعلاه:

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين.

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع.

المساحة الجانبية = 2 × نق × ط × ع = 2×4×3.14×10 = 251.2 سم2.

مساحة القاعدتين = 2 × مساحة القاعدة.

مساحة القاعدتين = 2 × نق2 × ط = 2×(4)2×3.14= 100.48سم2.

مساحة الأسطوانة الكلية = 251.2 + 100.48 = 351.68سم2.