بحث رياضيات عن المصفوفات

المصفوفات

هي مجموعة ذات شكل مستطيل تتألف من مجموعة (أرقام، أو رموز، أو عبارات)؛ ويُطلق عليها اسم الإدخالات أو العناصر، وجميعها مرتبة في صفوف، وأعمدة، وتنقسم إلى قسمين الأولى الحقيقية، والأخرى هي المعقدة، وعناصرها هي الأرقام الحقيقيّة، والأعداد المركبة، وينقسم شكل المصفوفة إلى خطوط أفقية، وأخرى عمودية.

لديها تاريخ طويل في حل المعادلات الخطية، وكانت تُعرف قديماً منذ ظهورها عام 1800 م باسم صفائف، وانتشرت بعد ذلك إلى الصين، ودول أوروبا، ودول العالم أجمع عبر العلماء.

حجم المصفوفة

يعتمد حجم المصفوفة على عدد الصفوف، والأعمدة التي يتضمنها، ويرمز للمصفوفة عادةً بـ(م ن)، وأعمدته بـ(و م × ن) أو (م ن- by)، في حين يُرمز لأبعادها (م و ن)، وتُعرف المصفوفة التي لها صف واحد فقط بنواقل التوالي، والتي لها عمود واحد تُعرف بناقلات العود، في حين تُعرف المصفوفة التي لها نفس عدد الصفوف، والأعمدة بالمربعة، وتُعرف المصفوفات التي ليس لها عدد معين من الصفوف، والأعمدة باللانهائية، أما المصفوفة التي لا تحتوي على صفوف، وأعمدة فتعرف بالفارغة.

الجوانب الحسابية للمصفوفات

تقوم حسابات المصفوفات في كثير من الأحيان على تقنيات مختلفة؛ حيث إنّ لها القدرة على حل العديد من المشكلات عبر طريقتي (الخوارزميات بشكل مباشر أو النهج المتكرر)، وعلى سبيل المثال يمكن من خلال المتجهات الذاتية للمصفوفة المربعة إيجاد تسلسل للنقالات (التي ذكرناها سابقاً)؛ وذلك عندما تتقارب إلى المتجه الذاتي عندما تميل قيم الصفوف فيها إلى ما لا نهاية.

لكي تكون قادراً على اختيار خوارزمية مناسبة بغية حل مشكلة معيّنة؛ فمن المهم تحديد كل من فعالية، ودقة جميع الخوارزميات المتاحة، ويطلق على نطاق دراسة هذه المسائل العددية للجبر الخطي؛ وهو مثال للعديد من الحالات العددية الأخرى، فلكل منها جانبان رئيسان هما: تعقيد الخوارزميات، والاستقرار العددي، ولتحديد تعقيد الخوارزمية يعني إيجاد الحدود العليا أو تقديرات عدد العمليّات الأولية مثل: الإضافات والضرب.

التطبيقات على المصفوفات

يوجد العديد من التطبيقات لهذه المصفوفات، سواء كان في الرياضيات أو غيرها من العلوم؛ حيث يمكن الاستفادة منها من خلال تمثيل مضغوط لمجموعة من الأرقام في المصفوفة، ويكون ذلك من خلال الاعتماد على مجموعة من البدائل لأيّة عملية تحتاج إلى حسابات معقدة، ويوجد لذلك العديد من النظريات أبرزها:

• الاحتمالات، والإحصاء: تُطبق هذه النظرية على المصفوفات العشوائيّة، والمربعة من خلال ناقلات الاحتمالات، ويكون ذلك عبر إدخالات غير قابلة للسلبية.
• التماثلات، والتحويلات: تلعب هذه النظرية دوراً رئيسيّاً في الفيزياء الحديثة، وخاصةً في مجال الجسيمات.
• الرسم البياني.
• التحليل، والهندسة.
• تركيبات خطية.
• الإلكترونيات.
• البصريات الهندسية.