قانون مساحة متوازي الأضلاع

المضلع الرباعي

المُضلّع الرباعي هو شكل هندسي مُغلَق ناتج عن اتحاد أربع قطع مستقيمة؛ حيثُ تقع كل نقطتين على استقامة واحدة، وتُسمّى نقطة التقاء كلّ قطعتين مستقيمتين متجاورتين رأساً، أما القطعة المستقيمة فتُسمّى ضلعاً أو جانباً؛ حيثُ ينشأ عن هذا الاتحاد أربع زوايا وأربعة رؤوس، وسُمّي بالرباعي لأنّ عدد أضلاعه أربعة، وتعتبر المضلعات الرباعية من الأشكال الثنائية الأبعاد.[1][2] أما أقطار المُضلّع الرباعي فهي القطعة المستقيمة الواصلة بين كل زاويتين غير متجاورتين (متقابلتين).[2]

متوازي الأضلاع

متوازي الأضلاع هو شكل هندسيٌ مغلق، رُباعي الأطراف، فيه كل جانبين متقابلين متطابقان، وبالتالي فإن كل زاويتين متقابلتين متساويتان في القياس، ويتكون متوازي الأضلاع من أربعة رؤوس وأربع زوايا، ويُسمّى العمود النازل من أحد رؤوسه إلى القاعدة بارتفاع متوازي الأضلاع.[3][2]

قانون مساحة متوازي الأضلاع

لإيجاد مساحة متوازي الأضلاع، يُرسم على ورقة متوازي أضلاع وتُحدّد قاعدته وارتفاعه، ثم يُرسَم مستطيل يُشارك متوازي الأضلاع في نفس القاعدة والارتفاع؛ حيثُ يُقَصّ المثلث الذي أحد أضلاعه هو الارتفاع ويُنقل إلى الجهة الأخرى، وحينها ينتج مستطيل طولُهُ هو عبارة عن قاعدة متوازي الأضلاع، وعَرضُه هو الارتفاع.[4]

وبناء على ما سبق فإنّ مساحة المستطيل= الطول × العرض، وهو أيضاً حاصل ضرب قاعدة متوازي الأضلاع في ارتفاعه، وبما أن المستطيل مشترك مع متوازي الأضلاع في نفس القاعدة والإرتفاع، فإن مساحة متوازي الأضلاع= مساحة المستطيل المشترك معه في نفس القاعدة والارتفاع؛[4] إذن: مساحة متوازي الأضلاع= طول القاعدة × الارتفاع.[2]

• مثال1: متوازي أضلاع ارتفاعه يساوي 10م، وطول قاعدته تساوي 15م، فجد مساحة متوازي الأضلاع.[4]

• مثال 2: إذا علمت أنّ مساحة متوازي أضلاع تساوي 40 سم²، وارتفاعه 5 سم، فجد طول قاعدته.[4]

خصائص متوازي الأضلاع

لمتوازي الأضلاع صفات وخصائص تُميّزه عن غيره من الأشكال الهندسية، ومن بعض هذه الصفات والخصائص ما يلي:[1][5][2]

• كل جانبين متقابلين متوازيان ومتطابقان، وبالتالي فإنّ كلَّ زاويتين متقابلتين متساويتان في القياس.
• كل زاويتين متتاليتين (أي غير متساويتين) متكاملتان؛ أي أنّ (مجموع قياسهما يساوي 180 درجة).
• مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمتوازي الأضلاع تساوي 360 درجة، ومجرد معرفة قياس زاوية واحدة كفيلة لإيجاد قياس باقي الزوايا.
• أقطار متوازي الأضلاع هي القطع المستقيمة الواصلة بين كل زاويتين متقابلتين وغير متجاورتين، وعددها اثنان فقط؛ حيثُ يُنصّف كل منهما الآخر.
• يُعتبَر متوازي الأضلاع من الأشكال ثنائية الأبعاد.

خطوات رسم متوازي أضلاع

لرسم متوازي أضلاع، يجب تحديد طول أي ضلعين متجاورين، وقياس إحدى زواياه؛ حيث تساعد هذه المعلومات في رسم متوازي أضلاع، والمثال التالي يُبيّن طريقة رسم متوازي أضلاع خطوة بخطوة للوصول لمُضلّع يحقّق جميع صفات متوازي الأضلاع.[6]

• مثال: ارسم متوازي أضلاع س ص ع ل، إذا علمت أنّ فيه س ص= 4 سم، ص ع= 3 سم، وقياس الزاوية س ص ع تساوي 80 درجة.[6]

حالات خاصة من متوازي الأضلاع

يوجد لمتوازي الأضلاع ثلاث حالات خاصة لمضلعات رباعية تتشارك مع متوازي الأضلاع في نفس الصفات، بالإضافة إلى وجود صفات أخرى خاصة بكل حالة من هذه الحالات؛ حيثُ اختيرت هذه الحالات لأنّها تُحقّق شروط متوازي الأضلاع جميعها، وبذلك من الممكن تسميتها أيضاً بمتوازي الأضلاع، وهذه الحالات هي:[2]

• الحالة الأولى: المربع، وهو شكل هندسي مُغلَق رُباعي الأطراف، جميع أطرافه متطابقة وجميع زواياه قائمة ومتساوية، أما قطراه، فينصف كل منهما الآخر، وبناءً على ما ذُكِر فإن المُربّع يُحقّق جميع متطلبات متوازي الأضلاع.
• الحالة الثانية: المستطيل، وهو شكل هندسي مُغلق رباعي الأطراف، زواياه الأربعة قائمة، وفيه كل ضلعين متقابلين متطابقان (متساويان في القياس)؛ حيثُ يُحقق المستطيل جميع شروط متوازي الأضلاع.
• الحالة الثالثة: المُعين، وهو شكل هندسي مُغلق رُباعي الأطراف، جميع أطرافه متطابقة، وفيه كل ضلعين متقابليين متوازيان، كذلك الزوايا فكل زاويتين متقابلتين متساويتان في القياس، أما قطراه فهما متعامدان وينصفان زوايا المُعين، وبالتالي فإنّ المُعين يُحقّق شروط متوازي الأضلاع.

المراجع

1. ^ أ ب "Polygons", www.mathsisfun.com, Retrieved 5-12-2017. Edited.
2. ^ أ ب ت ث ج ح معروف سمحان، نجلاء التويجري، ليان توبان (2016)، رياضيات الأولمبياد: الهندسة (الطبعة الأولى)، الرياض: مؤسسة الملك عبد العزيز للموهبة والإبداع،العبيكان، صفحة 155-180، جزء الأول. بتصرّف.
3. ↑ "Measuring the Area of a Parallelogram: Formula & Examples", www.study.com, Retrieved 4-12-2017. Edited.
4. ^ أ ب ت ث باجس خمايسة، ابراهيم الصمادي، فدوى الحشاش (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف الخامس (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 106-107-108ملف5، جزء الأول. بتصرّف.
5. ↑ رجائي سميح العصار، ‏جواد يونس أبو هليل، ‏محمد زهير أبو صبيح (2013)، مدخل إلى أولمبياد ومسابقات الرياضيات (الطبعة الأولى)، الرياض: جامعة الملك فهد للبترول والمعادن عمادة البحث العلمي_ مكتبة العبيكان، صفحة 60-88، الجزء الأول. بتصرّف.
6. ^ أ ب باجس خمايسة، إبراهيم الصمادي، فدوى الحشاش (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف الخامس (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة 174-175-176ملف7، جزء الثاني. بتصرّف.