تنتج المثلثات (بالإنجليزية: Triangles) عن تقاطع ثلاث قطع مستقيمة، وتُسمّى هذه القطع المستقيمة أضلاع المثلث، أما ارتفاعه فهو عبارة عن العمود النازل من نقطة رأس المثلث إلى القاعدة، ويبلغ مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأي مثلث 180°.[1]
تقسم المثلثات حسب زواياها، إلى ثلاثة أنواع، ,وهي:[1]
كما يمكن تصنيف المثلثات حسب نوع الزاوية الداخلية إلى ما يأتي:[2]
تُقسَم المثلثات حسب أضلاعها إلى ثلاثة أنواع، وفيما يأتي توضيح لكلٍّ منها:[1][2]
متوسط المثلث (بالإنجليزيّة: Median) هو مصطلح يُطلَق على (الخط المستقيم الواصل بين أحد رؤوس المثلث ومنتصف الضلع المقابل له)، أمّا مركز المثلث فإنه يُطلَق على نقطة تقاطع المتوسطات الثلاثة للمثلث، حيث إن مركز المثلث يقسم متوسّط المثلث بنسبة 2:1، فعلى سبيل المثال لو كان هناك مثلث أ ب ج، حيث إن أ د، ب س، ج ر متوسّطات المثلث، والنقاط د، س، ر منصّفات أضلاع، والنقطة م مركز المثلث، فإن طول أ م مثلا طول م د، وطول ب م مثلا م س، وهكذا، وبمعنى آخر إذا كان طول أ م يساوي 4سم، فإنّ طول م د يساوي 2سم.[3]
يتميز المثلث بوجود مجموعة من الخصائص تخصه عن غيره من الأشكال، ومن هذه الخصائص ما يأتي:[4]
مثال: صنّف المثلثات الآتية حسب معطيات كلٍّ منها:
يعود الفضل في تقدم علم المثلثات إلى علماء الرياضيات المسلمين، حيث صنّفوه كعلم منفصل عن علم الفلك، وكان أول عالم عربي يستعمل براهين نظرية إقليدية في مسائل علم المثلثات هو نصير الدين الطوسي، ممّا أدى إلى وصول علم المثلثات إلى أوروبا في وقت لاحق؛ تحديداً في القرن السابع عشر، ومن علماء الغرب الذين اعتمدوا في أعمالهم على ما قدّمه الطوسي: ساكيرى الذي عمل في الهندسة الإقليدية وكان أساس عمله المعلومات التي استخلصها ووجدها في كتابات ومؤلفات نصير الدين الطوسي، كما ترجم جون واليز كتابات الطوسي ومؤلفاته إلى اللغة اللاتينية؛ حيث استعمل هذه الكتب في محاضراته التي كانت تُعقَد في جامعة أكسفورد.[5]
ومن العلماء الآخرين الذين ساهموا في انفصال علم المثلثات عن غيره من العلوم، أبو عبد الله محمد بن جابر البتاني، حيث ترك الحساب بالوتر وانتقل إلى الحساب بنصف الوتر، وتكمن براعة البتاني ونباغته في أنه ترك الطريقة المشهورة لينتقل إلى أخرى أقل شهرةً، لكنّها صحيحة بنسبة أعلى من التي قبلها، كما أنّه يُعدّ أول من وضع جداول التمام والظل.[5]
وكان لأبي الوفا البوزجاني دور كبير في تعريف النسبة المثلثية، حيث أوجد أسلوباً جديداً لحساب جداول الجيب، ولم تقتصر جهود علماء المسلمين دراسة المثلثات المستوية فحسب، فقد تناولت المثلثات الكروية، ومن أقوال علماء الغرب التي تصرح بجهود العرب تجاه هذا العلم، قول سميث في كتابه تاريخ الرياضيات: (لم تُدرَس المثلثات الكروية المائلة بصورة جيدة إلا على أيدي العرب في القرن العاشر الميلادي).[5]