كيف أحسب حجم الأسطوانة
الأسطوانة
الأسطوانة (بالإنجليزيّة: Cylinder) هي إحدى المجسّمات الهندسيّة الأساسيّة ثلاثيّة الأبعاد؛ حيث تتكوّن من قاعدتين متطابقتين ومتوازيتين، يصل بينهما سطحٌ مُنحنٍ، وهي من المجسّمات المنتشرة بكثرةٍ في الحياة العمليّة، ومن أمثلتها: جذوع الأشجار، وأعمدة الكهرباء، والعلب المعدنيّة، ولها أنواعٌ عديدة، تعتمد على شكل القاعدتين.[1]
أنواع الأسطوانات
تتعدّد أنواع الأسطوانات حسب شكل القاعدتين فيها، وهي كما يأتي:[2]
- الأسطوانة الدائريّة (بالإنجليزيّة: Circular Cylinder): تكون القاعدتان فيها دائريّتي الشّكل.
- الأسطوانة بيضاويّة الشّكل (بالإنجليزيّة: Elliptic Cylinder): تكون القاعدتان في هذا النّوع من الأسطوانات إهليجيّتي الشّكل، بمعنىً آخر يكون المقطع العرضيّ للأسطوانة على شكل قطعٍ ناقصٍ، وقد تُسمّى الأسطوانةَ الناقصةَ.
- الأسطوانة المكافِئة (بالإنجليزيّة: Parabolic Cylinder): يكون شكل المقطع العرضيّ للأسطوانة قطعاً مكافئاً.
- الأسطوانة الزّائدة (بالإنجليزيّة: Hyperbolic Cylinder): يكون شكل المقطع العرضيّ للأسطوانة فيها قطعاً زائداً.
خصائص الأسطوانة الدائريّة
يتوسّط مجسّمَ الأسطوانة الدائريّة ما يُعرَف بمحور الأسطوانة؛ حيث تبعُد النّقاط كافّةً عن هذا المحور مسافاتٍ معيّنةً، أمّا عند طرفَي المجسّم الأسطوانيّ فهناك سطحان دائريّان يتعامدان مع محور الأسطوانة، ويمكن تخيّل هذا المجسَّم عن طريق تخيُّل مستطيلٍ يدور حول واحدٍ من أضلاعه الأربعة دورةً كاملةً، ومن هنا يُسمّى محور عمليّة الدّوران هذه باسم محور الأسطوانة، أمّا الضّلع المُقابل له فيسمّى راسمَ الأسطوانة؛ لأنّه هو الذي يحدّد محيطها.[1]
يُعرَّف ارتفاع الأسطوانة بأنّه الخطّ الواصل بين الوجه الدائريّ الأوّل للأسطوانة والوجه الدائريّ الثاني لها؛ بحيث يكون هذا الخطّ مُتعامداً مع كلا السّطحين الدائريّين، ووضع هذا الخطّ بالنّسبة إلى محيطَي القاعدتَين هو الذي يحدّد ما إذا كانت الأسطوانة مائلةً أو قائمةً؛ فإذا تعامد ارتفاع الأسطوانة مع المحيطَين فالأسطوانة عندئذٍ قائمةٌ، أمّا إن لم تتعامد القطعتان مع الأسطوانة فستكون أسطوانةً مائلةً.[1]
كيفيّة حساب حجم الأسطوانة الدائريّة
يُحسَب حجم الأسطوانة الدائريّة القائمة بالطّريقة نفسها التي يُحسَب فيها حجم الأسطوانة الدائريّة المائلة، وذلك باستخدام القانون الآتي:[3]
كيفيّة حساب مساحة الأسطوانة الدائريّة
حساب المساحة السطحيّة للأسطوانة
يمكن حساب المساحة السطحيّة للأسطوانة عن طريق تجزئتها إلى القاعدتين والجزء المنحني، كالآتي:[4]
المساحة السطحيّة للأسطوانة=مساحة القاعدة الأولى+مساحة القاعدة الثانية+مساحة الجزء المنحني
نظراً لأنّ القاعدتين في الأسطوانة الدائريّة هما عبارة عن دائرتين، والجزء المنحني يشكّل مستطيلاً، إذن:
المساحة السطحيّة للأسطوانة الدائريّة=مساحة الدّائرة الأولى+مساحة الدّائرة الثانية+مساحة المستطيل
المساحة السطحيّة للأسطوانة الدائريّة=π×(مربّع نصف القطر)+π×(مربّع نصف القطر)+الطول×العرض
ولأنّ القاعدتين متطابقتان، إذن:
مساحة الدّائرة الأولى=مساحة الدائرة الثّانية، وعليه فإنّ:
المساحة السطحيّة للأسطوانة الدائريّة=2×(π×(مربّع نصف القطر))+الطول×العرض
ولكنّ العرض هو نفسه ارتفاع الأسطوانة، أمّا الطّول فهو محيط القاعدة، إذن:
محيط القاعدة=محيط الدّائرة=π×2×نصف القطر
المساحة السطحيّة للأسطوانة الدائريّة=2×(π×(مربّع نصف القطر))+π×2×نصف القطر×الارتفاع
المساحة السطحيّة للأسطوانة الدائريّة=2×π×نصف القطر(نصف القطر+الارتفاع)
حساب المساحة الجانبيّة للأسطوانة
تُحسَب المساحة الجانبيّة للأسطوانة كما يأتي:[5]
أمثلةٌ على حساب حجم الأسطوانة ومساحتها
- مثال (1): جِد حجم أسطوانةٍ يبلغ ارتفاعها 20سم، ونصف قطر قاعدتها 5سم.
- مثال (2): يبلغ حجم أسطوانةٍ 300سم³، تُراد زيادة ارتفاعها إلى الضّعف، احسب نسبة الزّيادة في الحجم.
- مثال (3): يراد عمل تلسكوبٍ يدويٍّ من قطعةٍ معدنيّةٍ مستطيلة الشّكل، عرضها 18سم، وطولها 36سم، تمّ لفّ القطعة المعدنيّة على شكل أسطوانةٍ محيطها 36سم، جد حجم الأسطوانة الناتجة، ومساحتها السطحيّة.
- مثال (4): خزّانٌ أسطوانيّ الشكل، مملوءٌ بالماء، طول قطره 50سم، وارتفاعه 200سم، نُقِل الماء الموجود داخله إلى خزّانٍ آخر طول قطره 100سم، جد ارتفاع الماء داخل الخزّان الثاني بوحدة المتر.
- مثال (5): صهريج ماءٍ أسطوانيّ الشكل، يبلغ طوله 2.5م، بينما يبلغ نصف قطر قاعدته 0.5م، تمّت تعبئته بالماء حتّى ارتفاع 0.6م، جد حجم الماء الموجود داخله.
- مثال (6): وعاءٌ أسطوانيُّ الشكل، حجمه 600سم³، ومحيط غطائه 40سم، احسب المساحة الكليّة للأسطوانة إذا أُزيل الغطاء.
المراجع
- ^ أ ب ت Math Open Reference Staff, "Cylinder"، Math Open Reference , Retrieved 2016-12-28. Edited.
- ↑ Fandom Staff, "Cylinder"، Fandom, Retrieved 2016-12-28. Edited.
- ↑ Math Open Reference Staff, "Volume enclosed by a cylinder"، Math Open Reference , Retrieved 2016-12-28. Edited.
- ↑ Math Open Reference Staff, "Derivation of the surface area of a cylinder"، Math Open Reference , Retrieved 2016-12-28. Edited.
- ↑ "الأسطوانة : وصفها - حجمها و مساحتها الجانبية و الكلية"، Arqam-Math، 2013-6-12، اطّلع عليه بتاريخ 2016-12-28. بتصرّف.
- ↑ Math Open Reference Staff, "Volume of a horizontal cylinder segment"، Math Open Reference , Retrieved 2016-12-28. Edited.
- ↑ Math Open Reference Staff, "Area of a Circular Segment given its height"، Math Open Reference , Retrieved 2016-12-28. Edited.
