تتعدد خصائص الجمع والطرح في الرياضيات، وحتى نفرد خصائص كل عملية نبدأ بذكر خصائص عملية الجمع على النحو الآتي:[1]
في هذه الخاصية لو تم التبديل في ترتيب الأرقام المضافة إلى بعضها فإنّ المُحصّلة تبقى ثابتة.
في هذه الخاصية لو تم التبديل والتغيير على الأرقام الداخلة ضمن مجموعة محصورة بين قوسين مع أرقام من خارج المجموعة والعلاقة بينها ككل علاقة عملية الجمع فإن النتيجة تبقى ثابتة.
في هذه الخاصية لو اردنا إجراء عملية الجمع لأي رقم مع الصفر فإن الرقم سيبقى كما هو، فالصفر لا يزيد ولا ينقص من قيمة الرقم.
تتميز الأعداد الحقيقية بأربع خصائص (تبادلية، ارتباطية، توزيعية، هوية) والتي تتجلى خلال بعض العمليات الحسابية الأساسية (الجمع، الضرب) والسبب أن تلك الخصائص لا تنطبق على عمليتي الطرح والقسمة يمكن توضيحه بالمثال التالي:[2]
لا تنطبق على عملية الطرح لأن ذلك يفترض عدم تغيرالنتيجة لو بدلنا العملية (طرح الكبير من الصغير هو نفس طرح الصغير من الكبير) 7 - 4 = 4 - 7 ← لا يستوي التبديل بالتأكيد.
لا تنطبق على عملية الطرح أيضاً والسبب يمكن توضيحه بالمثال الآتي8 - (13 - 5) = (8 - 13) - 5 ← وهذا بالتأكيد غير صحيح لأن النتيجة في الشق الأيمن (صفر) والنتيجة في الطرف الآخر (-10).
هناك عمليات حسابية أساسية تُنظم استخدام الأعداد الصحيحة سواء كانت موجبة أو سالبة، وفيما يلي أبرز تلك العمليات:[3]
يمكن إجراء عملية الجمع على الأعداد الصحيحة سواء كانت موجبة أو سالبة، وفي كلا الحالتين فإن الأمر بسيط وتقتصر النتيجة على المجموع الكلي لهما، مثل جمع كلا من (+4 و +8) فإن المحصلة ستكون (12)، ولو كانت عملية الجمع تشتمل على (-3 و -4) فإن المحصلة ستكون (-7)، ولو اشتملت عملية الجمع على رقمين فإن المحصلة ستكون هي نفس إشارة الرقم الأكبر مثل (-9 و +6) ستكون المحصلة (-3).
ما ينطبق على عملية الجمع سينطبق على عملية الطرح، فطرح رقمين موجبين (الأصغر يُطرح من الأكبر) ستكون الإجابة موجبة، مثل طرح (+2) من (+6) سيكون الناتج (+4)، ولو تم العكس طرح (الاكبر من الاصغر) ستكون الإجابة سالبة مثل طرح (+2) من (+6) ستكون الإجابة (-4).
إنّ القاعدة الأساسية في عملية ضرب الأعداد الصحيحة تنص على أن أي عددين متشابهين في الإشارة فإن المحصلة ستكون موجبة مثل ضرب (-4) بـ (-2) فإن المحصلة ستكون (+8)، بينما لو كانت عملية الضرب تشتمل على رقمين مختلفين في الإشارة (أحدهما موجب والآخر سالب) فإن المحصلة ستكون سالبة.
كما هو الحال في عملية الضرب فإن قاعدة الإشارات الموجبة والسالبة تنطبق في عملية القسمة، فلو قسمنا (-8) على (+2) فإن النتاج سيكون (-4).
هناك العديد من الرموز والإشارات المستخدمة في علم الرياضيات والتي من شانها إتمام العمليات الرياضية، ومن أبرز تلك الرموز والإشارات نذكر ما يلي:[4]