قانون مساحة الإسطوانة

الأسطوانة

تُعرف الأسطوانة هندسياً (بالإنجليزية: Cylinder) التي نتعامل معها في معظم المسائل على أنها مجسم يمتلك جانبين ممتدين بشكلٍ مستقيم، ونهايتين دائريتين لهما الأبعاد والمواصفات نفسها.[1] وتعرف الأسطوانة أيضاً (بشكلٍ أعم) على أنها السطح أو المجسم الذي يكون محاطاً بأسطوانة عامة مغلقة (الأسطوانة العامة هي أسطوانة نهايتاها ليستا دائرتين) وجانبين متوازيين. أسطوانة كهذه تمتلك العديد من الأضلاع لذلك يمكن اعتبارها على أنها موشور.[2]

حساب مساحة الأسطوانة

عند التعرض لمسائل تتطلب حساب مساحة الأسطوانة فيجب التأكد مما إذا كان هذا السؤال يطلب حساب مساحة الأسطوانة كاملة أم أنه يطلب فقط حساب المساحة الجانبية للأسطوانة، وفيما يأتي سوف نبين طريقة حساب المساحة الكلية للأسطوانة، ثم سوف نبين طريقة حساب المساحة الجانبية للأسطوانة، وأخيراً سوف نقوم بعرض بعض الأمثلة التوضيحية.

قانون حساب المساحة الكلية للأسطوانة

حتى يكون بالإمكان حساب مساحة سطح الأسطوانة الكلية فإنه يوجد العديد من الطرق للقيام بذلك، وواحدة من هذه الطرق هي التفكير بالأسطوانة على أنها دائرتان متماثلتان، متقابلتان ومتوازيتان، بالإضافة إلى مستطيل منحنٍ يدور بين هاتين الدائرتين حيث إنه ينطبق على محيطهما.[3]

الآن بمعرفتنا لهذا يمكن القول إن المساحة الكلية للأسطوانة هي مساحة الدائرة التي في الأعلى، مضافاً إليها مساحة الدائرة التي بالأسفل مضافاً إليها مساحة المستطيل. لكن مساحة المستطيل هي الطول × العرض، بينما مساحة الدائرة هي مربع نصف القطر مضروباً بالعدد π (قيمة هذا العدد هي 22/7 وهذا الكسر يساوي تقريباً 3.14)، إذاً:[4]

حيث إن "نق" هو نصف قطر الدائرة، و"ل" هو ارتفاع هذه الأسطوانة (أو عرض المستطيل)، بينما "2×π×نق" هو طول المستطيل، حيث إن طول المستطيل هو محيط الدائرة نفسه الذي في الأعلى أو الأسفل. يتم قياس مساحة الأسطوانة الكلية (أو الجانبية) باستخدام وحدات قياس المساحة مثل متر تربيع، أو سنتيمتر تربيع، أو ميليمتر تربيع.[4]

قانون حساب المساحة الجانبية للأسطوانة

في بعض الأحيان يكون المطلوب من السؤال هو حساب المساحة الجانبية للأسطوانة، أو حساب مساحة قاعدة الأسطوانة بدلاً من حساب كامل المساحة الكلية. لحساب مساحة القاعدة للأسطوانة فإنه وبكل سهولة يمكن استخدام قانون حساب مساحة الدائرة والذي هو نق2π. أما إذا كان المطلوب من السؤال هو حساب المساحة الجانبية للأسطوانة فإنه وبكل بساطة يجب حساب مساحة مستطيل، حيث إن مساحة المستطيل تساوي الطول × العرض، ولكن ارتفاع هذه الأسطوانة هو طول هذا المستطيل (أو عرضه) بينما محيط الدائرة الموجودة في القاعدة يمثل عرض المستطيل (أو طوله)، لهذا يمكن كتابة قانون حساب المساحة الجانبية للأسطوانة كالآتي:[2]

أمثلة على حساب المساحة الكلية والجانبية

• مثال (1): لنقل إن لدى محل للبسكوت وعاءً أسطواني الشكل، مساحة سطحه الكلية هي 785 سم2، ونصف قطر قاعدتها هي 5 سم، كم هو ارتفاع هذه العلبة؟

• مثال (2): طُلب من عامل طلاء أن يقوم بطلاء جدران غرفة أسطوانية الشكل، فعندما دخل إلى الغرفة قاس المسافة بين سقف وأرض الغرفة ليجدها 2.25 م، وقام بعد ذلك بقياس المسافة من الجدار إلى الجدار فوجدها 5م، كم سوف تكون تكلفة طلاء الغرفة (الجدران والسقف والأرض) إذا علمت أن العامل يتقاضى 3 دنانير أردنية مقابل كل متر مربع؟

• مثال (3): أراد بستنجي طلاء نصف ساق شجرة ما في بستانه بمادة الجير للحفاظ على الشجرة وحمايتها. إذا كان طول ساق هذه الشجرة هو 20م، ونصف قطر جذعها هو 0.75م، احسب المساحة التي يجب على البستنجي طلاؤها (اعتبر أن الساق أسطوانية بشكل ممتاز).

حجم الأسطوانة

يمكن إيجاد حجم الأسطوانة عن طريق العلاقة الآتية:[2]

المراجع

1. ↑ "Cylinder", www.dictionary.cambridge.org, Retrieved 25-2-2018. Edited.
2. ^ أ ب ت "Cylinder", www.wolfram.com, Retrieved 25-2-2018. Edited.
3. ↑ "Definition of Cylinder", www.mathsisfun.com, Retrieved 25-2-2018.
4. ^ أ ب "Surface area of a cylinder", www.mathopenref.com, Retrieved 25-2-2018.
5. ↑ فيديو عن مساحة الأسطوانة وحجمها.