كيفية تحليل الفرق بين مربعين
الجبر
بدأ تطوُّر علم الجَبْر في عهد المصريين قبل حوالي 3500 عام، حيث كَتَب المصريون القدماء المسائل الرياضيّة باستعمال الحروف، وبالأخصّ كلمة (كومة) التي كانت تدلّ على العدد غير المعروف (المجهول)، وفي عام 300ق.م، ألَّف العالِم الإغريقيّ الشهير إقليدس كتابه الأصول، الذي كان يتضمّن عدّة مُتطابِقات توصَّل إليها أثناء دراسته للأشكال الهندسيّة.أمّا أشهر العلماء المُسلِمين الرياضيين، وبالذات في علم الجَبْر، فهو الخوارزميّ؛ حيث نَجح في حلّ المُعادَلات ذات الدرجة الثانية بشكل هندسيّ، كما نَشر أوّل جداول للنِّسَب المُثلَّثية، وهي جداول الجيب، والجتا، والظلّ، وألَّف العديد من الكتب، منها كتابه الشهير الجَبْر والمُقابَلة، حيث وضَّح فيه طُرُق تبسيط المُعادَلات، وذلك بإجراء نفس العمليات الحسابيّة على كلا الطرفين، وشَرَح أيضاً عمليّة الاختزال التي تُعنى بجَمْع أقسام المُعادَلة المُختلِفة؛ لتبسيط حلِّها، وتُعَدُّ هاتان العمليّتان من أبرز التقنيات المُستخدَمة حالياً في علم الجبر، الذي سُمِّيَ بهذا الاسم؛ نسبةً لعنوان كتابه الجَبْر والمُقابَلة.[1]
الفرق بين مُربَّعين وتحليله
الفرق بين مُربَّعي حَدَّين هو إحدى صِيَغ المُعادَلة التربيعيّة، أو المُعادَلة ذات الدرجة الثانية،[2] وهو عبارة عن حَدَّين مُربَّعين، أحدهما مطروح من الآخر، وهو يُساوي الفرق بين الحَدَّين مضروباً في مجموعهما، مع مُراعاة الترتيب في الحدود، وبصورة أخرى هو حاصل ضَرْب (الحَدِّ الأوّل مَطروحاً منه الحَدُّ الثاني) في (الحَدِّ الأوّل مُضافاً إليه الحَدُّ الثاني).[1]
أما الصورة العامة للفرق بين مُربَّعين فهي: س²- ص²، حيث إنّ:[1]
- س²: هو مُربَّع الحَدِّ الأوّل.
- ص²: هو مُربَّع الحَدِّ الثاني.
- والإشارة بينهما هي إشارة طَرْحٍ أو فَرْقٍ، وبهذا فهي تُمثِّل فَرقاً بين مُربَّعي حَدَّين، أو فَرقاً بين مُربَّعَين.
ولتحليل الفرق بين مُربَّعين إلى عوامله، يجب التأكُّد أوّلاً من أنّ المِقدار مَكتوب على الصورة العامة (س²- ص²)، ومن ثمّ يتمّ تحليله باتّباع الخطوات الآتية:[1]
- فَتْح قوسين العلاقة بينهما ضَرْب: ( )( )
- تُكتَب في القوس الأول إشارة الجَمْع، وفي القوس الثاني إشارة الطَّرْح: ( + )( - )
- يُكتَب الحَدُّ الأوّل في كلا القوسين قبل إشارتَي الجَمْع والطَّرْح: (س+ )(س- )
- يُكتَب الحَدُّ الثاني في كلا القوسين بعد إشارتَي الجَمْع والطَّرْح: (س+ص)(س-ص)
- وهكذا يكون الشكل النهائي:
- يُعبَّر عن الفَرق بين مُربَّعين بالكلمات كما يأتي:
أمثلة على كيفيّة تحليل الفَرق بين مُربَّعين
- مثال1:حلل المِقدار التالي إلى عوامله الأوليّة 4ع²-9.[3]
- مثال2:حلل المقادير الجبريّة الآتية إلى عواملها.[1]
- س²-16
- 49م²-ك²
- (ص+1)² -1
- مثال3:بالاعتماد على تحليل الفَرق بين مُربَّعين، جد قيمة كلٍّ من المقادير الآتية:
- (8.5)²-(3.5)².
- (7)²-(1.25)²
- مثال4: حلل المِقدار الجبريّ (6ب²-24ع²) إلى عوامله.
- مثال5:عبِّر عن المِقدار الآتي(102×98) بصورة فَرْق بين مُربَّعين، ومن ثم احسب قيمته العدديّة.
الفَرق بين مُكعَّبين وتحليله
الفَرق بين مُكعَّبين هو عبارة عن (الحَدّ الأول- الحَدّ الثاني) (مُربَّع الحَدّ الاول+ الحَدّ الأول×الحَدّ الثاني+ مُربَّع الحَدّ الثاني)، وبالرموز س³-ص³=(س-ص)(س²+س ص+ص²).[1]
أمثلة على كيفيّة تحليل الفَرق بين مُكعَّبين
- مثال1:حلل المقادير الجبريّة الآتية إلى عواملها الأوليّة.[1]
- 8س³-27
- 8س³- ص6
المراجع
- ^ أ ب ت ث ج ح خ زينب مقداد، محمد عربيات، ياسمين نصير (2007)، دليل المعلم الرياضيات الصف التاسع (الطبعة الأولى)، الأردن-عمان: وزارة التربية والتعليم إدارة المناهج والكتب المدرسية، صفحة: 24-28، الوحدة الأولى الجزء الأول، ملف1-45، جزء أول. بتصرّف.
- ↑ معروف عبد الرحمن سمحان، وعبير بنت حميدي الحربي، وجواهر بنت أحمد المفرج، رياضيات الأولمبياد: الجبر: Mathematics Olympiad: Algebra، صفحة: 184. بتصرّف.
- ↑ "Special Binomial Products", www.mathsisfun.com. Edited.
